Cтраница 2
Всякое конструктивное упорядоченное поле имеет конструктивное вложение в сильно конструктивное вещественно замкнутое поле. [16]
В силу леммы Цорна наше поле К содержится в некотором вещественно замкнутом поле, алгебраическом над К. [17]
Как мы увидим, поле IR в А является не единственным вещественно замкнутым полем, а только одним из бесконечного множества эквивалентных ему. [18]
Как мы увидим, поле R в А является не единственным вещественно замкнутым полем, а только одним из бесконечного множества эквивалентных ему. [19]
Итак, элиминация кванторов дает формулу, равносильную исходной в любом вещественно замкнутом поле. Отсюда, как обычно, следует, что теория вещественно замкнутых полей совпадает с элементарной теорией упорядоченного поля вещественных чисел и потому полна, а также разрешима, и что все вещественно замкнутые упорядоченные поля элементарно эквивалентны. [20]
Теорема 5.4.6 впервые была доказана Робинсоном [ 1959, 1961Ы в частных случаях, когда U либо является вещественно замкнутым полем или алгебраически замкнутым полем, либо эквивалентно полю рациональных чисел. Робинсон поставил вопрос, будет ли эта теорема справедлива в общем случае. [21]
Подобно тому как мы развили теорию продолжения гомоморфизмов в алгебраически замкнутое поле и получили теорему Гильберта о нулях в алгебраически замкнутом поле, мы хотим теперь развить теорию для случая, когда принимаемые значения лежат в вещественно замкнутом поле. [22]
Пусть k - поле и К - его конечно порожденное расширение, причем К упорядочено. Пусть R - вещественно замкнутое поле, содержащее k и индуцирующее то оке самое упорядочение на k, что и К. [23]
Пусть k - поле и К - его конечно порожденное расширение, причем К упорядочено. Пусть R - вещественно замкнутое поле, содержащее k и индуцирующее то же самое упорядочение на k, что и К. [24]
Теория, состоящая из аксиом упорядоченного поля ( в том числе аксиом равенства) и этих дополнительных аксиом, называется теорией вещественно замкнутых полей. Покажем, что в любом вещественно замкнутом поле выполнены основные факты о многочленах и их производных. Прежде всего заметим, что в алгебре естественно определять производную многочлена не как предел, а чисто формально: ( ж) па; 1 ( для любого положительного целого п), далее по линейности. Степень производной многочлена на единицу меньше степени самого многочлена. [25]
Упорядоченное поле называется вещественно замкнутым, если любой многочлен, имеющий на концах отрезка разные знаки, имеет корень на этом отрезке. Отметим в скобках, что существует несколько эквивалентных определений вещественно замкнутого поля, см. учебник ван дер Вардена [4]; мы выбрали наиболее удобное для наших целей. [26]
Предполагая, что условия ( 1) - ( 3) справедливы для всех ординалов р; а, можно легко показать, что они выполняются и для а. В частности, объединение цепи вещественно замкнутых полей будет вещественно замкнутым полем, так как аксиомы теории вещественно замкнутых полей являются Па-предложениями. [27]
Алгебраического доказательства этого результата до сих пор не известно. Существующее доказательство - топологическое и основано на исследовании топологических свойств отображения сферы Sn - l в себя, индуцированного умножением в n - мерной алгебре с делением. С помощью методов математической логики, используя полноту элементарной теории вещественно замкнутых полей, можно показать, что аналогичный результат справедлив для конечномерных алгебр с делением над произвольным вещественно замкнутым полем. [28]