Cтраница 1
Полином узла был вычислен Дж. Александером для многих узлов. [1]
Полиномы узла существуют и единственны с точностью до / п, где п - произвольное целое число, а t - образующий элемент бесконечной циклической группы, являющейся прокоммутированной группой копред-ставления ( х: г) группы узла. [2]
Всякий полином узла Д & является образующим наименьшего главного идеала, содержащего элементарный идеал ЕЪ. [3]
Всякий полином узла имеет четную степень. [4]
Следующая теорема представляет собой аналог для полиномов узла теоремы инвариантности элементарных идеалов ( см. (4.5) гл. Она, по существу, утверждает, что полиномы узла являются инвариантами типа узла. [5]
Следствием этой симметрии является то, что нормализованный вид полинома узла является инвариантом типа узла. В частности, если нормализованные полиномы Д и Д, соответствующие узлам / С и / (, не совпадают при некотором & Х), то узлы К и / ( имеют разные типы. [6]
Первый полином узла AI является наиболее важным в последовательности полиномов узла. [7]
Элементарные идеалы, определенные для любого конечного копредставления, являются обобщениями полиномов узла, которые мы определим в следующей главе для копредставлений групп узлов. Имеется несколько преимуществ введения идеалов раньше полиномов. Прежде всего, в то время как идеалы определяются для произвольного конечного копредставления группы, полиномы существуют и единственны только для более ограниченного класса групп, удовлетворяющих некоторым алгебраическим условиям. В следующей главе мы обсудим эти условия и покажем, что всякая группа ручного узла удовлетворяет им. [8]
Знание некоторых фундаментальных свойств группового кольца бесконечной циклической группы Н необходимо для понимания природы полиномов узла. [9]
Однако в отличие от идеалов, которые определены для любого конечного ко-представления, существование и единственность полиномов узла основываются на особых алгебраических свойствах прокоммутированной группы узла. Поэтому первый параграф этой главы посвящен доказательству теоремы о том, что прокоммутированная группа узла всегда является бесконечной циклической группой. Во втором параграфе устанавливаются нужные для дальнейшего алгебраические свойства группового кольца бесконечной циклической группы. Затем мы определяем полиномы узла, проверяем их существование, единственность и инвариантность и изучаем некоторые их свойства. Последний параграф содержит примеры различных типов узлов, отличаемых друг от друга с помощью вычисления их полиномов или идеалов. Особо подчеркнем, что мы ограничиваемся здесь узлами, чьи группы обладают верхним копредставлением. [10]
Так как это число не меняется ни при умножении на единицу th, ни при замене переменного 5 / - 1, то степень полинома узла является корректно определенным инвариантом типа узла. [11]
Как мы уже указали, эта проблема не разрешима в целом для копред-ставлений групп. Для полиномов узла она, однако, тривиальна. [12]
Образ элемента а при гомоморфизме тривиализации iJH - J получается подстановкой в этот L-полином значения 1 ( см. § 1, гл. Хотя всякий полином узла определен только с точностью до умножения на tn, абсолютное значение Ал ( 1) однозначно определяется классом изоморфии группы узла. Этот инвариант, однако, бесполезен как средство различения типов узлов. [13]
Типы узлов и полиномы узлов. Следующие примеры иллюстрируют возможности использования полиномов узла. Из них станет ясно, что эти инварианты дают нам действенное средство различения типов узлов в весьма широком диапазоне. Наши вычисления основаны на результатах предыдущих параграфов. С другой стороны, обычно выгодно перед тем, как вычислять производные, упростить верхнее копредставление. Стало быть, мы - можем заменять образующие лгг - элементом t после упрощения верхнего копредставления, но при условии, что при этом мы не вводим новых образующих. [14]
Следующая теорема представляет собой аналог для полиномов узла теоремы инвариантности элементарных идеалов ( см. (4.5) гл. Она, по существу, утверждает, что полиномы узла являются инвариантами типа узла. [15]