Cтраница 2
Наименьший главный идеал, содержащий данное конечное множество элементов, является наименьшим главным идеалом, содержащим идеал, порожденный этими элементами. Следовательно, как следствие предложения (2.11) и определений полиномов узла Дл и элементарного идеала Ek мы получаем следующую характеристику полиномов узла. [16]
Наименьший главный идеал, содержащий данное конечное множество элементов, является наименьшим главным идеалом, содержащим идеал, порожденный этими элементами. Следовательно, как следствие предложения (2.11) и определений полиномов узла Дл и элементарного идеала Ek мы получаем следующую характеристику полиномов узла. [17]
Однако в отличие от идеалов, которые определены для любого конечного ко-представления, существование и единственность полиномов узла основываются на особых алгебраических свойствах прокоммутированной группы узла. Поэтому первый параграф этой главы посвящен доказательству теоремы о том, что прокоммутированная группа узла всегда является бесконечной циклической группой. Во втором параграфе устанавливаются нужные для дальнейшего алгебраические свойства группового кольца бесконечной циклической группы. Затем мы определяем полиномы узла, проверяем их существование, единственность и инвариантность и изучаем некоторые их свойства. Последний параграф содержит примеры различных типов узлов, отличаемых друг от друга с помощью вычисления их полиномов или идеалов. Особо подчеркнем, что мы ограничиваемся здесь узлами, чьи группы обладают верхним копредставлением. [18]
Использование буквы L подсказано аналогией со степенными рядами Лорана из теории функций комплексного переменного, содержащими члены с отрицательными показателями. Отметим, что для одного переменного понятия L-полинома и свободного полинома, которое было введено в предыдущей главе, совпадают. Это происходит просто потому, что бесконечная циклическая группа является одновременно и свободной, и свободной абелевой группой. Следует подчеркнуть, что кольцо L-полиномов определяется не только групповым кольцом. Тем не менее обычно говорят об элементах группового кольца свободной абелевой группы, как об L-полиномах. Примером этого, в частности, является следующее определение полиномов узла. [19]