Cтраница 1
Бурали-Форти все же пытается доказать его. Сначала он рассматривает случай, когда одно из фигурирующих в нем множеств счетно, и он доказывает как его, так и аналогичный случай теоремы эквивалентности. [1]
Бурали-Форти, Кантора и Рассела) и эпистемологическими - или семантическими ( например, антиномии Ришара и Эпименида), и он заметил, что логические антиномии ( повидимому) исключаются простой иерархией типов, а семантические ( повидимому) не могут появиться внутри символического языка простой теории типов из-за отсутствия в ней тех средств, которые требуются для описания выражений того же языка. Но доводы Рамсея для обоснования непредикативных определений внутри данного типа предполагают понятие совокупности всех предикатов этого типа как существующей независимо от их конструируемости1) или определяемости. Эти доводы были названы теологическими. [2]
Бурали-Форти первоначально намеревался построить арифметику только на базе понятий множества и взаимно-однозначного соответствия [ 3, с. [3]
Бурали-Форти явно не ввел условие непересечения множеств s, из-за чего впоследствии Рассел [ 3, с. [4]
Так что Бурали-Форти для своего построения арифметики натуральных чисел на фундаменте абстрактной теории множеств понадобилось ввести новое предложение, которое, как оказалось впоследствии, недоказуемо без аксиомы выбора ( см.: Цермело [ 3, с. Куратовский и Мостов-ский [ 1, с. Пеано и в разработке которого он сам принял активное участие. Он явно подчеркивает его новизну хотя бы тем, что при изложении арифметики особым знаком выделяет те ее предложения, которые зависят от введенной им аксиомы ( для этого против соответствующего предложения он ставит знак [ I ]), - таких предложений у него двенадцать. [5]
Наконец, в работе Бурали-Форти [3] имеется еще один интересный момент. Мы уже говорили по поводу одноэлементного множества довольно много ( с. Для строившейся им арифметики Бурали-Форти тоже понадобилось, как и Дедекинду, отождествить одноэлементное множество с его единственным элементом, и он такое отождествление делает, вводя его в определение основного для своей арифметической системы понятия нормального класса, представляющего собой некоторое множество множеств ( с. Так что это требование тоже выступает у него в виде особой аксиомы, но в отличие от предшествующей оно не имело у него столь четкого аксиоматического характера. [6]
В этом его предвосхитил, как мы видели, Бурали-Форти [3], а Рассел ( с. [7]
Рассел в 1905 г. Однако она справедлива, если класс образован из попарно непересекающихся классов; Бурали-Форти применял ее как раз в этой ситуации. [8]
Если учесть еще скептицизм ряда видных математиков в отношении аксиомы выбора ( Пеано, Беттацци, Бурали-Форти, Леви) и некоторых ее эквивалентов, например утверждения о сравнимости любых мощностей ( Борель [ 4, с. Цермело все же доказать последнюю нельзя не признать достаточно дерзким, особенно учитывая непосредственно предшествующий доклад Кенига [1], о котором будет речь в разд. [9]
Второе замечание связано с тем, что значительная часть статьи [5] любопытна безотносительно к парадоксу, так как здесь, в частности, Бурали-Форти своеобразно развивает теорию линейно упорядоченных множеств и их порядковых типов. [10]
Но если в немецкой Энциклопедии векторный стандарт занимает небольшое и в то же время несколько случайное место, то вторая, итальянская векторная школа, руководимая Бурали-Форти и Марколонго, занялась вопросом стандартизации векторных обозначений весьма тщательно и принципиально. Насколько нам известно, все итальянские геометры пользутся этим стандартом. Он проведен авторами и в настоящем сочинении. [11]
Термин группа означал у Беттацци то же самое, что и слова система у Дедекинда, множество или многообразие у Кантора пли класс у Пеано п Бурали-Форти. [12]
Следует указать, что на эти предложения Бурали-Форти обратили внимание Кассине и Гюйемо. Бурали-Форти 1897 г. мы находим два примитивных предложения, которые при некоторой предосторожности можно рассматривать как эквиваленты аксиомы выбора. [13]
Гобсон не согласился с теми способами разрешения его, которые предложил тогда Бурали-Форти, Рассел и Журден, и поставил вопрос о пересмотре общей теории порядковых и кардинальных чисел, сложившейся к тому времени ( с. Рассмотрев затем общее определение понятия множества по Кантору и признав его неудовлетворительным, Гобсон предложил собственное определение: Все объекты, удовлетворяющие заданному предписанию ( a prescribed norm), называются принадлежащими множеству, определенному этим предписанием. [14]
Широкое развитие векторного анализа и многочисленные его применения в дисциплинах, развертывавшихся в криволинейных координатах, потребовало перечисления векторных операций на любую систему референции, конечно, в Евклидовом пространстве. Со всею полнотой это было выполнено, мне кажется, в первый раз Бурали-Форти в 1897 г. в сочинении, посвященном векторному построению дифференциальной геометрии поверхности в Евклидовом пространстве. В криволинейных координатах квадрат элемента дуги в Евклидовом пространство также выражается основной гауссо-римановой формулой. [15]