Cтраница 2
Очень многие авторы придерживаются собственных обозначений, создавая таким образом обилие символов, усложняющих общепринятый алгорифм. Бурали-Форти, например, принадлежат первые значительные приложения векторного анализа к диференциальной геометрии; Марколонго написал первый курс механики в векторном изложении. Но они пользуются в векторной алгебре особыми символами, которые вне Италии не приняты. [16]
Наконец, в работе Бурали-Форти [3] имеется еще один интересный момент. Мы уже говорили по поводу одноэлементного множества довольно много ( с. Для строившейся им арифметики Бурали-Форти тоже понадобилось, как и Дедекинду, отождествить одноэлементное множество с его единственным элементом, и он такое отождествление делает, вводя его в определение основного для своей арифметической системы понятия нормального класса, представляющего собой некоторое множество множеств ( с. Так что это требование тоже выступает у него в виде особой аксиомы, но в отличие от предшествующей оно не имело у него столь четкого аксиоматического характера. [17]
Основанием для утверждения о невозможности доказать предложение А у него служат следующие соображения. Это предложение он, как и ранее предложение о сравнимости кардинальных чисел, разбивает на два, первое из которых аналогично рассмотренному выше эквиваленту аксиомы выбора, а второе - теореме эквивалентности. Но если канторовское предложение D Бурали-Форти доказал с привлечением Ppl и РрП, то теперь он не пытается делать что-либо подобное. Дело и том, что при допущении А получается цепочка теорем для порядковых чисел Бурали-Форти, приводящая к парадоксу множества всех таких чисел. Из этого он заключает, что допущение ошибочно, а значит, предложение А недоказуемо. [18]
Мы не располагаем данными, прямо свидетельствующими о столкновении мнений, подобном тому, которое имело место в Германии, Франции и Англии. Но рассмотренные ранее факты выступлений Пеано и Беттацци против аксиомы выбора и вместе с тем осознанные применения ее или эквивалентных ей утверждений Арцелой, Бурали-Форти и Витали по крайней мере косвенно говорят о таких столкновениях. [19]
Основное препятствие он увидел в недавно опубликованном утверждении Кантора о сравнимости любых кардинальных чисел [ 13, с. Мы теперь знаем, что это утверждение является эквивалентом аксиомы выбора. Эта трудность возрастала для Бурали-Форти еще и потому, что если Хартогс получил утверждение о сравнимости кардиналов при помощи теоремы Цермело о вполне упорядочении произвольного множества, то такой путь был закрыт для Бурали-Форти. Как мы упоминали, незадолго до этого он ввел свое определение понятия вполне упорядоченного множества, не совпадающее с канторовским, использованным затем Цермело и Хартогсом. Именно с этим определением он работал некоторое время, включая время написания статьи [4], и лишь в 1897 г. осознал [6] его отличие от канторовского. Поэтому он был прав, отказавшись [ 4, с. [20]
Основное препятствие он увидел в недавно опубликованном утверждении Кантора о сравнимости любых кардинальных чисел [ 13, с. Мы теперь знаем, что это утверждение является эквивалентом аксиомы выбора. Эта трудность возрастала для Бурали-Форти еще и потому, что если Хартогс получил утверждение о сравнимости кардиналов при помощи теоремы Цермело о вполне упорядочении произвольного множества, то такой путь был закрыт для Бурали-Форти. Как мы упоминали, незадолго до этого он ввел свое определение понятия вполне упорядоченного множества, не совпадающее с канторовским, использованным затем Цермело и Хартогсом. Именно с этим определением он работал некоторое время, включая время написания статьи [4], и лишь в 1897 г. осознал [6] его отличие от канторовского. Поэтому он был прав, отказавшись [ 4, с. [21]