Cтраница 1
Геодезическая полнота или, точнее, геодезическая неполнота играет решающую роль в изложении теории сингулярностей в общей теории относительности, и в этих рамках она была тщательно исследована. [1]
Теорема 5.4. Времениподобная геодезическая полнота, изотропная геодезическая полнота и пространственноподобная геодезическая полнота логически не эквивалентны. [2]
Чтобы изучать геодезическую полноту лоренцевых искривленных произведений, необходимо определить связность Леви - Чи-вита для их метрик. [3]
Согласно 12.3.9, из геодезической полноты следует утверждение 3) теоремы. Поэтому замкнутые шары В ( р, г) компактны как образы компактов BQ ( Q, r) при непрерывном отображении. Осталось доказать, что из метрической полноты следует геодезическая полнота. [4]
Кроме того, из геодезической полноты псевдориманова многообразия в отличие от риманова многообразия ( ср. [5]
Теорема 5.4. Времениподобная геодезическая полнота, изотропная геодезическая полнота и пространственноподобная геодезическая полнота логически не эквивалентны. [6]
Вместе с тем ясно, что из о.у. полноты времениподобная геодезическая полнота вытекает с очевидностью. С другой стороны, модифицируя пример Герока, приведенный на рис. 5.2, путем изменения знака метрического тензора, можно показать, что из о.у. полноты пространственноподобная геодезическая полнота не следует. [7]
Теорема 5.4. Времениподобная геодезическая полнота, изотропная геодезическая полнота и пространственноподобная геодезическая полнота логически не эквивалентны. [8]
Более сильная форма полноты, b - полнота, обеспечивает геодезическую полноту и, следовательно, преодолевает этот последний недостаток о.у. полноты. Интуитивно 6-пол-нота определяется следующим образом ( см. Хокинг и Эллис ( 1977, с. Сначала обобщается понятие аффинного параметра с геодезических на все С1 - гладкие кривые. [9]
Однако Кундт, Герок и Бим предложили серии примеров глобально гиперболических пространственно-временных многообразий, для которых времениподобная геодезическая полнота, изотропная геодезическая полнота и пространственноподобная геодезическая полнота логически не эквивалентны. Таким образом, существуют глобально гиперболические пространства, которые являются простран-ственноподобно и времениподобно геодезически полными, однако изотропно неполны. [10]
Важно отметить прежде всего, что из наличия глобальной гиперболичности не следует ни одна из этих форм геодезической полноты. [11]
Однако Кундт, Герок и Бим предложили серии примеров глобально гиперболических пространственно-временных многообразий, для которых времениподобная геодезическая полнота, изотропная геодезическая полнота и пространственноподобная геодезическая полнота логически не эквивалентны. Таким образом, существуют глобально гиперболические пространства, которые являются простран-ственноподобно и времениподобно геодезически полными, однако изотропно неполны. [12]
Замечание 5.13. Даже для класса глобально гиперболических пространственно-временных многообразий конечная компактность, или, что равносильно, времениподобная коши-полнота, не означает наличия времениподобной геодезической полноты, с В самом деле, приведенный на рис. 5.2 пример Герока представляет собой времениподобно геодезически неполное глобально гиперболическое пространство-время, которое конечно компактно. [13]
Однако Кундт, Герок и Бим предложили серии примеров глобально гиперболических пространственно-временных многообразий, для которых времениподобная геодезическая полнота, изотропная геодезическая полнота и пространственноподобная геодезическая полнота логически не эквивалентны. Таким образом, существуют глобально гиперболические пространства, которые являются простран-ственноподобно и времениподобно геодезически полными, однако изотропно неполны. [14]
Пусть 7 - / - М - произвольная гладкая геодезическая. Следовательно, Ь - полнота влечет за собой геодезическую полноту. Кроме того, из Ь - полноты вытекает о.у. полнота. Пример Герока ( см. рис. 5.2) с измененным знаком метрического тензора показывает, что существуют глобально гиперболические лоренцевы многообразия, которые являются о.у. полными, а b - неполны. Поэтому из о.у. полноты Ь - полнота не следует. [15]