Cтраница 2
Цель этого раздела двояка. Во-первых, мы напомним, что для произвольных лоренцевых многообразий геодезическая полнота не обеспечивает существования максимальных геодезических сегментов, соединяющих причинно связанные пары точек. [16]
Тогда, если пространство-время ( М, g) имеет компактную поверхность Коши, то оно геодезически неполно. Поэтому для произвольных искривленных произведений усиление теоремы 2.53 за счет геодезической полноты ( как в теореме 2.54) невозможно. Космологические модели большого взрыва Робертсона-Уокера ( см. разд. [17]
Так как Bd ( / ( М)) Ф 0, а изометрия /: М - М переводит геодезические из М в геодезические из AT, лежащие в / ( М), то, как легко видеть, ( М, g) не может быть ни времениподобно, ни изотропно, ни простран-ственноподобно геодезически полным. Вспоминая, что и Ь - полнота и о.у. полнота влекут за собой геодезическую полноту ( см. разд. [18]
Добавим, что получены некоторые результаты, аналогичные упомянутой выше теореме Номидзу-Одзеки для риманоных многообразий. Пока неизвестно, однако, можно ли усилить этот результат, включив сюда и пространственноподобную геодезическую полноту. [19]
Вместе с тем ясно, что из о.у. полноты времениподобная геодезическая полнота вытекает с очевидностью. С другой стороны, модифицируя пример Герока, приведенный на рис. 5.2, путем изменения знака метрического тензора, можно показать, что из о.у. полноты пространственноподобная геодезическая полнота не следует. [20]
R не могут образовывать базиса исходной топологии многообразия. Поэтому в общей теории относительности геодезическая полнота пространства-времени обычно рассматривается чаще, чем метрическая полнота. [21]
Согласно 12.3.9, из геодезической полноты следует утверждение 3) теоремы. Поэтому замкнутые шары В ( р, г) компактны как образы компактов BQ ( Q, r) при непрерывном отображении. Осталось доказать, что из метрической полноты следует геодезическая полнота. [22]
Допустим, что несингулярным пространством-временем названо геодезически полное пространство-время. Но там же Герок ( 19686, свойство 2) выдвигает второе условие, которому должно удовлетворять несингулярное пространство-время, а именно наблюдатели, которые следуют по допустимым ( в некотором смысле) мировым линиям, должны иметь бесконечное полное собственное время. Тем самым этот пример не удовлетворяет второму условию Герока, хотя все времениподобные геодезические вследствие геодезической полноты имеют бесконечную длину. [23]