Cтраница 2
Необходимое и достаточное условие равновесия системы, заключающееся в следующем: если в некотором положении механической системы с двусторонними идеальными связями приложенные к ней силы уравновешиваются, то на любом возможном перемещении системы из этого положения сумма работ задаваемых сил равна нулю. [16]
ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ - независимые между собой параметры, которые при наименьшем их числе однозначно определяют положение механической системы. [17]
Положение одной материальной точки определяется тремя координатами х, у, г; если механическая система состоит из п материальных точек, то нужно знать 3 / г координат этих точек, чтобы иметь точное представление о положении механической системы в пространстве. Однако весьма часто движение материальных точек бывает стеснено теми или иными условиями, вследствие чего не все координаты являются независимыми; зная часть координат, другие можно определить из условий, ограничивающих свободу движения материальных точек. [18]
Рассмотрим вначале вопрос об устойчивости равновесия механической системы. Положение механической системы, как известно, характеризуется значением некоторых взаимнонезависимых величин, называемых обобщенными координатами системы. Система может находиться в равновесии под влиянием действующих на нее сил. Не учитываемые обычно, но существующие весьма малые силы или весьма малые отклонения системы от ее начального положения могут привести к изменению положения системы в дальнейшем или весьма малому, или очень значительному. В первом случае равновесие системы считается устойчивым, а во втором случае - неустойчивым. [19]
Параметры Qi называют лагранжевыми координатами системы. Они однозначно определяют положение механической системы и поэтому их иногда называют определяющими координатами ( С. А. Чаплыгин), или обобщенными координатами. [20]
Совокупность ( множество) материальных точек называется механической системой, если движение любой выбранной точки множества зависит от положения и движения остальных. Если независимо от движения и положения механической системы расстояния между любыми двумя точками системы сохраняются постоянными, то такая механическая система называется абсолютно твердым телом. Движения деформируемых реальных тел, которые мы наблюдаем ежедневно, во многих случаях можно изучать, пользуясь теорией движения тел абсолютно твердых, так как изменения относительного расположения точек тел при движении столь малы, что учет их, излишне усложняя процесс изучения движения, не прибавляет к познанию чего-либо существенно нового. [21]
Число координат ( параметров), определяющих положение механической системы, зависит от количества точек ( или тел), входящих в систему, и от числа и характера наложенных связей. Геометрические связи уменьшают на одно и то же количество единиц и число независимых возможных перемещений системы, и число независимых между собою координат, определяющих положение этой системы. Одновременно координаты точки будут все время удовлетворять уравнению ( ХА - х /) - - ( у А - Д / г) 2 - Ь - - ( zА - г) 2 - Д выражающему эту связь математически; следовательно, число независимых между собою координат системы тоже уменьшится на единицу. [22]
Проблемы изучения движения аналитическими методами требуют обобщения первоначальной концепции декартовых координат. В качестве системы координат может быть выбрана любая совокупность параметров, характеризующая положение механической системы. Эти параметры называются обобщенными координатами системы. [23]
Вариации координат 6 v, 8j / v, S v удовлетворяют полученным т уравнениям связи и не могут быть все заданы произвольно. Число k 3n - m называют числом степеней свободы системы. Оно равно числу независимых параметров, определяющих положение механической системы. Такими параметрами могут быть как Зга - т независимых декартовых координат, так и криволинейные координаты, в ряде случаев более отвечающие рассматриваемой задаче. Так, например, положение точки на окружности можно задать всего одним параметром, в качестве которого можно выбрать угол, который радиус, соединяющий точку с центром окружности, образует с некоторой заданной прямой. [24]
Следовательно, новая вариационная задача касается 2п степеней свободы. Если мы желаем изобразить эту новую ситуацию геометрически, то нам придется использовать пространство 2п измерений. Положение механической системы теперь определяется наряду с прежними позиционными координатами лагранжевой механики также и импульсами. Великий американский ученый Гиббс назвал это q - р пространство, в котором одна точка С определяет обобщенное положение механической системы фазовым пространством. В гамильтоновой механике мы говорим о фазовом пространстве, использующем qt и р /, как совокупность 2п переменных. [25]