Cтраница 2
Заодно упомянем, что из теоремы Коэна и Круля [7] следует, что нетривиальный гомоморфизм из действительной / полугруппы сохраняет размерность, хотя в общем случае мало что можно сказать об изменении размерности при гомоморфизмах полугрупп. Существуют примеры гомоморфизмов из компактных полугрупп на полугруппы более высокой размерности. [16]
Следовательно, для элемента х в компактной полугруппе степени х скапливаются к некоторому идемпотенту, в частности компактная полугруппа содержит идем-потент. [17]
Однако многие свойства, справедливые в классах компактных и дискретных полугрупп, перестают быть верными для произвольных локально компактных полугрупп, поэтому, как правило, накладываются дополнительные ограничения топологич. Важным условием такого рода является слабая равномерность: локально компактная полугруппа S наз. [18]
Информация, содержащаяся в следующей теореме, применяется очень часто. На языке алгебраических полугрупп она утверждает, что минимальный идеал компактной полугруппы вполне простой. Доказательство этого факта, по существу, алгебраическое, компактность необходима для того, чтобы установить существование минимального левого, правого и двустороннего идеалов. Дальше топологические свойства не играют никакой роли и то, что идеал вполне простой, показывается так же, как в алгебраической полугруппе ( см. утверждение 1.7 из гл. [19]
В локально компактной инверсной полугруппе операция взятия инверсного элемента ( см. Регулярный элемент) непрерывна тогда и только тогда, когда S слабо равномерна. В слабо равномерной полугруппе максимальные подгруппы замкнуты; в произвольной локально компактной полугруппе это свойство может не выполняться. [20]
Ясно, что эта формула определяет компактную полугруппу. Ввиду ограниченности множителей при о, при всех О 0 эта формула, очевидно, определяет компактную полугруппу. [21]
Следовательно, для элемента х в компактной полугруппе степени х скапливаются к некоторому идемпотенту, в частности компактная полугруппа содержит идем-потент. [22]
ТЕОРЕМА 4.6. Пусть А является инфинитезималъным производящим оператором сильно непрерывной полугруппы S ( t) и пусть Р - произвольный линейный ограниченный оператор, отображающий пространство Н в себя. Тогда оператор А Р порождает сильно непрерывную полугруппу и она является компактной, если S ( t) - компактная полугруппа. [23]
S существует инвариантная метрика, порождающая топологию на S. Каждая компактная полугруппа является проективным пределом компактных метрич. Каждая вполне несвязная компактная полугруппа является проективным пределом коночных полугрупп. [24]
S в полугруппу характеров полугруппы S является тонологич. Теорема двойственности справедлива для коммутативной компактной полугруппы S с единицей тогда и только тогда, когда S инверсная полугруппа и ее подполугруппа идемпотентов образует вполне несвязное пространство. Найдены необходимые и достаточные условия справедливости теоремы двойственности для коммутативных локально компактных полугрупп [12], одним из необходимых условий является слабая равномерность полугруппы. [25]
S в полугруппу характеров полугруппы S является тонологич. Теорема двойственности справедлива для коммутативной компактной полугруппы S с единицей тогда и только тогда, когда S инверсная полугруппа и ее подполугруппа идемпотентов образует вполне несвязное пространство. Найдены необходимые и достаточные условия справедливости теоремы двойственности для коммутативных локально компактных полугрупп [12], одним из необходимых условий является слабая равномерность полугруппы. [26]
В предлагаемо книге излагаются элементы функционального анализа н некоторые его приложения к задачам, возникающим при управлении оптимизации. В настоящее время в математике довольно отчетливо проявляется тенденция к проблемам, так или иначе связанным с приложениями; с другой стороны, значительно усложнились математические модели описывающие процессы в экономике и естествознании. Эти тенденции, безусловно, связаны с развитием и расширением возможностей вычислительных машин. Настоящая книга отражает эти тенденции н носит вводный характер. Рассматриваемые здесь вопросы функционального анализа весьма существенны для подготовки высококвалифицированных специалистов как в области теории систем, так и в области математической экономик. В настоящее время имеется ряд превосходных курсов функционального анализа. Тем не менее, обширность предлагаемого материала порождает ряд трудностей для желающих ознакомится с предметом с точки зрения его приложении. Далее, применение ряда результатов функционального анализа к конкретным проблемам связано со значительными усилиями ввиду их высокого уровня общности. Эти обстоятельства побудили меня ограничиться рассмотрением лишь гильбертовых пространств и довольно детально рассмотреть такие специальные темы как вольтерровы операторы, операторы Гильберта - Шмидта, днсснпативные компактные полугруппы н теоремы факторизации для положительно определенных линейных операторов. При этом с целью сохранения разумного объема книги мы ограничились лишь тем разделами функционального анализа, которые имеют первостепенное значение для приложений. [27]