Cтраница 1
Вполне 0-простая полугруппа с тривиальными максимальными подгруппами называется 0-прямоугольной связкой. [1]
Лемма 1.5. Вполне 0-простая полугруппа имеет единственный ненулевой 2) - класс, и притом регулярный. [2]
После аксиоматического изучения вполне 0-простых полугрупп мы излагаем в § 2 доказательство теоремы Риса, основанное на понятии - представления из § 5 гл. Третий и четвертый параграфы настоящей главы посвящены некоторым примерам вполне 0-простых полугрупп и вычислению их структурных параметров. В последнем параграфе мы рассматриваем конечные моноиды, у которых идеал необратимых элементов является вполне 0-простой полугруппой, и устанавливаем некоторые связи с комбинаторными проблемами. Всюду ниже мы используем символ 8 для обозначения полугруппы, полученной присоединением нулевого элемента 0 к полугруппе S, если S не имеет нуля, и совпадающей с S в противном случае. [3]
Все эндоморфизмы ранга 1 из полугруппы End V образуют вполне 0-простую полугруппу 5 ( см. предложение 4.2 в гл. Для двух эндоморфизмов f и g в полугруппе S, так же как и в End / V, соотношение tflg выполняется тогда и только тогда, когда Кег / Ker g, a fS g выполняется тогда и только тогда, когда lmflmg. Отсюда вытекает, что в качестве индексирующего множества Л для семейства ненулевых З - клас-сов полугруппы S можно взять множество всех подпространств размерности 1 из V. [4]
Напомним, что класс эпигрупп включает в себя, кроме периодических и клиффордовых полугрупп, все вполне 0-простые полугруппы. [5]
Следствие 2.12. Пусть S J [ ( G; 1, Л; Р) - вполне 0-простая полугруппа. [6]
Следующая серия лемм будет использована в § 2 для доказательства структурной теоремы ( Риса - Сушкевича) о вполне 0-простых полугруппах. [7]
Если воспользоваться терминологией из теории некоммутативных колец, то можно сказать, что лемма 1.4 утверждает, что идеал 0 вполне 0-простой полугруппы является первичным. [8]
Хорошо изучены расширения полугруппы S при помощи полугруппы Q в ряде конкретных случаев: когда S вполне проста, когда 5 - группа, a Q - вполне 0-простая полугруппа, и др. Дальнейшую информацию по идеальным расширениям см. в [18], § 4.4 и 4.5, [71] ( отметим, что § 6 этого обзора посвящен расширениям колец, § 7 - расширениям частично упорядоченных множеств), [72], гл. [9]
Для полугрупп с нулем ситуация значительно проясняется ( Глускин Л. М. / / Докл АН СССР. В случае вполне 0-простых полугрупп это приводит к нижеследующему исчерпывающему описанию. Пусть m, n - две мощности, / и Л - индексные множества, 1 / т, Л п Р - ( ри) - такая Л X / - матрица из нулей и единиц, в которой нет одинаковых строк и одинаковых столбцов ( это связывает кардиналы тип необходимыми условиями nt 2, n 2m) и нет строк и столбцов, состоящих только из нулей. [10]
Важнейшим типом идеально простых [ 0-простых ] полугрупп являются вполне [0-] простые полугруппы, определяемые как идеально простые [ 0-простые ] полугруппы, содержащие примитивный идемпотент. Присоединение нуля к вполне простой полугруппе дает вполне 0-простую полугруппу, и о взаимоотношениях вполне простых и вполне 0-простых полугрупп можно сказать то же, что выше сказано о произвольных идеально простых и 0-простых полугруппах. Все идем-потенты вполне 0-простой полугруппы примитивны. Этот пример следующим образом естественно обобщается на случай матричных единиц любого размера. [11]
После аксиоматического изучения вполне 0-простых полугрупп мы излагаем в § 2 доказательство теоремы Риса, основанное на понятии - представления из § 5 гл. Третий и четвертый параграфы настоящей главы посвящены некоторым примерам вполне 0-простых полугрупп и вычислению их структурных параметров. В последнем параграфе мы рассматриваем конечные моноиды, у которых идеал необратимых элементов является вполне 0-простой полугруппой, и устанавливаем некоторые связи с комбинаторными проблемами. Всюду ниже мы используем символ 8 для обозначения полугруппы, полученной присоединением нулевого элемента 0 к полугруппе S, если S не имеет нуля, и совпадающей с S в противном случае. [12]
Минимальный идеал) правых идеалов, в) S есть 0-прямое объединение вполне 0-простых полугрупп. [13]
Этот алгоритм считается важным инструментом исследования, особенно при желании изучить природу максимальных подгрупп конечной полугруппы преобразований ( см. гл. В § 5 показано, что построение моноидов вида М S U Н с вполне 0-простой полугруппой S и группой Н обратимых элементов является нетривиальной задачей. [14]
Важнейшим типом идеально простых [ 0-простых ] полугрупп являются вполне [0-] простые полугруппы, определяемые как идеально простые [ 0-простые ] полугруппы, содержащие примитивный идемпотент. Присоединение нуля к вполне простой полугруппе дает вполне 0-простую полугруппу, и о взаимоотношениях вполне простых и вполне 0-простых полугрупп можно сказать то же, что выше сказано о произвольных идеально простых и 0-простых полугруппах. Все идем-потенты вполне 0-простой полугруппы примитивны. Этот пример следующим образом естественно обобщается на случай матричных единиц любого размера. [15]