Cтраница 2
Из этих определений сразу же вытекает, что если полугруппа S вполне проста, то полугруппа 5 вполне 0-проста. Как следствие получаем, что многие результаты о вполне простых полугруппах очевидным образом вытекают из результатов для вполне 0-простых полугрупп. [16]
Важнейшим типом идеально простых [ 0-простых ] полугрупп являются вполне [0-] простые полугруппы, определяемые как идеально простые [ 0-простые ] полугруппы, содержащие примитивный идемпотент. Присоединение нуля к вполне простой полугруппе дает вполне 0-простую полугруппу, и о взаимоотношениях вполне простых и вполне 0-простых полугрупп можно сказать то же, что выше сказано о произвольных идеально простых и 0-простых полугруппах. Все идем-потенты вполне 0-простой полугруппы примитивны. Этот пример следующим образом естественно обобщается на случай матричных единиц любого размера. [17]
О / х; образуют относительно обычного умножения матриц вполне 0-простую полугруппу. Обратно, любая вполне Q-простая полугруппа изоморфна полугруппе пар матриц описанного выше типа. [18]
После аксиоматического изучения вполне 0-простых полугрупп мы излагаем в § 2 доказательство теоремы Риса, основанное на понятии - представления из § 5 гл. Третий и четвертый параграфы настоящей главы посвящены некоторым примерам вполне 0-простых полугрупп и вычислению их структурных параметров. В последнем параграфе мы рассматриваем конечные моноиды, у которых идеал необратимых элементов является вполне 0-простой полугруппой, и устанавливаем некоторые связи с комбинаторными проблемами. Всюду ниже мы используем символ 8 для обозначения полугруппы, полученной присоединением нулевого элемента 0 к полугруппе S, если S не имеет нуля, и совпадающей с S в противном случае. [19]
Для полугрупп с нулем содержательным является рассмотрение ненулевых идеалов, и минимальный элемент в соответствующем частично упорядоченном множестве идеалов наз. Полугруппа совпадает со своими левым и правым цоколями тогда и только тогда, когда она есть 0-прямоо объединение вполне 0-простых полугрупп и полугруппы с нулевым умножением. [20]
Ьь Н 1 и Lq П Кь Не, согласно предложению 2.10 из гл. Hb ReK L содержит единственный элемент q K, инверсный к 7х - Очевидно, что (2.1.1) определяет координатную систему для D. Следующее же замечание справедливо только для вполне 0-простых полугрупп. [21]
Перемножая р-классы в факторполугруппе 5 / р, точку обычно не пишут. Как правило, из контекста бывает ясно, в каком смысле понимается произведение. Может, впрочем, оказаться, что оба смысла совпадают для любых двух р-классов; конгруэнцию р с таким свойством называют совершенной. Полугруппа, в которой все конгруэнции совершенны, называется совершенной. Класс совершенных полугрупп гомоморфно замкнут и включает в себя все вполне простые и вполне 0-простые полугруппы ( Фортунатов В. А. / / Изв. [22]