Cтраница 2
Легко видеть, что этот полином f является полуинвариантом группы G. [16]
Очевидно, что 0 является полуинвариантом любого веса; напротив, полуинвариант, отличный от нуля, имеет определенный вес. [17]
О состоит из всех автоморфизмов пространства V, для которых все элементы из 3 - полуинварианты, 2) О состоит из всех автоморфизмов пространства V, для которых элементы из - инварианты. [18]
Пусть Р - отличный от О полуинвариант некоторой группы G автоморфизмов пространства V, и пусть р - вес этого полуинварианта. Функция р является тогда ограничением на G некоторой полиномиальной функции. [19]
Если О - любое множество, то полуинварианты множества О - это те элементы из о ( И), которые являются полуинвариантами всех элементов из О. [20]
Полуинвариантом группы G в пространстве V называется ненулевой вектор, порождающий одномерное G-инвариантное подпространство. [21]
Очевидно, что D - полуинвариант веса D группы GLn. Следовательно, функции fi являются полуинвариантами веса x ( D G) rx группы G. Ясно, что функции х и / i fm удовлетворяют нужным условиям. [22]
Мы также доказали, что существует конечное множество 3 полуинвариантов, таких, что Н состоит из всех автоморфизмов пространства 1 /, для которых все элементы из 3 являются полуинвариантами ( теорема 1 из § 2 гл. [23]
Для того чтобы рациональная функция R над пространством б была инвариантом множества О, необходимо и достаточно, чтобы она была представила в виде частного двух полуинвариантов одинакового веса. [24]
Мы также доказали, что существует конечное множество 3 полуинвариантов, таких, что Н состоит из всех автоморфизмов пространства 1 /, для которых все элементы из 3 являются полуинвариантами ( теорема 1 из § 2 гл. [25]
Второе утверждение в ( i) непосредственно выводится из леммы 4.3.3 с помощью леммы 4.2.4. Таким образом, утверждение ( i) доказано. Если f - полуинвариант, но не инвариант, то существует такое отражение s e G, что sf cf, сФ, поскольку G порождена отражениями. [26]
В исследованиях средних потенциалов сил Кирквуд [15] исходит из рассмотрения группы п ионов. Теория средних потенциалов базируется на учете только одного такого параметра. Средние значения потенциалов выражаются с помощью полуинвариантов Тиля. [27]
Случаи октаэдральных и икосаэдральных групп могут быть разобраны таким же способом. Мы ограничимся краткими указаниями, оставляя детали читателю. С помощью орбит группы Г в Р находим однородные полуинварианты группы G степеней 12, 8 и 6 соответственно, скажем cpi2, ф8 и фб. [28]
Не каждая алгебраическая группа определяется такими своими инвариантами, однако известно ( см. К. Шевалле), что каждая алгебраическая линейная группа определяется конечным набором своих полуинвариантов ( собственных векторов) в Q. Опираясь на это важное свойство, Ю. И. Мерзляков показал, что каждая алгебраическая линейная группа над полем нулевой характеристики рационально изоморфна некоторой группе матриц, определяемой конечным набором полилинейных операций. [29]