Cтраница 3
Наиболее полной характеристикой случайных погрешностей, как и любой случайной величины, является закон распределения их вероятностей, определяющий возможные значения случайных погрешностей и вероятность их появления. Законы распределения вероятностей случайных погрешностей весьма разнообразны. Ординаты кривой закона распределения р ( 8) соответствуют плотности вероятности случайных погрешностей б, значения которых отложены по оси абсцисс. [31]
Статистический анализ случайных величин и процессов широко распространен во многих отраслях науки и техники. При статистическом анализе используются законы распределения вероятностей и моментные характеристики, а также корреляционные спектральные функции. [32]
Но его принципиальным отличием от указанных методов является возможность определения аналитических зависимостей, в операторной форме устанавливающих связь между статистическими характеристиками входных и выходных сигналов системы через характеристики ее случайных параметров. Не накладывается также ограничений на стационарность и законы распределения вероятностей случайных сигналов и случайных параметров. Возможен расчет не только мо-ментных характеристик, но и законов распределения вероятностей выходных сигналов системы. Точность получаемых результатов может быть очень высокой при незначительном увеличении количества выборок случайных величин. [33]
Аналитическое исследование случайных процессов в нелинейных системах вызывает значительные трудности вследствие невыполнимости принципа суперпозиции. Нелинейные преобразования, в общем случае, искажают законы распределения вероятностей входных сигналов, меняют их вероятностные характеристики. Поэтому исследования часто ведутся с использованием приближенных методов, базирующихся на статистической линеаризации нелинейно стей. [34]
Аналитическое исследование случайных процессов в нелинейных системах вызывает значительные трудности вследствие невыполнимости принципа суперпозиции. Нелинейные преобразования, в общем случае, искажают законы распределения вероятностей входных сигналов, меняют их вероятностные характеристики. Поэтому исследования часто ведутся с использованием приближенных методов, базирующихся на статистической линеаризации нелинейностей. [35]
Методы анализа стохастических систем, основанные на двух описанных выше общих подходах, не очень удобны для решения практических задач. Первый подход, основанный на составлении уравнений, определяющих законы распределения вероятностей вектора фазовых координат, хотя и может обеспечить получение точного аналитического решения, является слишком сложным и в силу упомянутых ранее причин имеет ограниченное применение в инженерной практике. Второй подход является чисто вычислительным и не дает возможности определить явные зависимости между вероятностными характеристиками выходных сигналов системы и вероятностными характеристиками ее случайных параметров. [36]
В этой главе были рассмотрены основные характеристики случайных величин. Полная информация о случайных величинах содержится в законах распределения. Рассмотрены равномерный и нормальный законы распределения вероятностей. [37]
Из теории вероятностей известно, что наиболее полно случайные величины характеризуются законами распределения вероятностей. Поэтому, оперируя со случайными погрешностями, важно знать функцию или плотность распределения вероятностей этих погрешностей. В разнообразных измерительных устройствах законы распределения вероятностей различны. Преимущественно встречаются нормальные и равномерные распределения, а также распределения по закону арксинуса. Возможны и композиции законов распределения. [38]
Ансамбль реализаций случайного процесса более общего вида изображен на рис. 17.7. Физическим эквивалентом ансамбля можно считать, например, набор шумящих источников одинаковой физической природы, находящихся в идентичных условиях, - однотипных электронных ламп или транзисторов при одинаковой окружающей температуре и равных питающих напряжениях. Если усилить и записать одинаковыми регистрирующими приборами флуктуации, созданные каждым источником, то получится набор кривых, подобный рис. 17.7. В отличие от рис. 17.6 здесь нельзя точно предсказать поведение отдельной реализации по одному или нескольким мгновенным значениям, или по найденной начальной - фазе. Чтобы описать статистические свойства таких колебаний, необходимо уметь задавать законы распределения вероятностей мгновенных значений, а также учитывать вероятности смены одних значений другими. [39]
Это уравнение подробно рассматривалось в § 1 гл. При этом были выделены три случая, когда решения уравнения ( 1) являются весовыми функциями весьма характерных систем ортогональных многочленов. Но в теории вероятностей обычно рассматривается более десяти случаев, когда уравнение ( 1) определяет характерные и важные в приложениях законы распределения вероятностей. При этом, в отличие от теории ортогональных многочленов, в теории вероятностей рассматриваются и очень важны случаи, когда решения уравнения ( 1) имеют только конечное число степенных моментов. [40]
Эти погрешности не могут быть исключены, но их можно уменьшить путем статистической обработки совокупности результатов изме-реннй. Для учета случайных погрешностей пользуются вероятностными характеристиками. Оперируя со случайными погрешностями, важно знать ф-цию или плотность распределения их вероятностен. В разнообразных измерительных устройствах законы распределения вероятностей различны. Преимущественно встречаются нормальные и равномерные распределения, а также распределения по закону арксинуса. Возможны и композиция законов распределения. При теоретических исследованиях закон распределения вероятностей случайных погрешностей наиболее часто полагают нормальным. [41]
Автор весьма подробно показывает широкие возможности практического использования познанных статистических закономерностей. В книге детально исследуются законы вариации. В связи с этим автор напоминает читателю основн ые сведения из теории вероятностей и математической статистики. Он Приводит понятия вероятности, основные теоремы сложения и умножения вероятностей, законы распределения вероятностей. [42]
Свойства неопределенности, обусловленной эффективностью функционирования исполнительных элементов системы, изучаются в теории надежности и эффективности средств производства различных отраслей экономики. Этому виду неопределенности свойственна стохастическая устойчивость среднего результата на множестве событий. Это свойство широко используется на практике, где при планировании массового применения техники показателем эффективности служит математическое ожидание количества произведенной продукции. При рассмотрении функционирования отдельных образцов техники или небольшого их количества процесс рассматривается как случайный. Законы распределения вероятностей этих процессов хорошо изучены и широко применяются на практике. [43]
В первой теории плотность диффундирующего вещества удовлетворяет определенному дифференциальному уравнению с частными производными. К нахождению решений этого дифференциального уравнения при надлежащих краевых и начальных условиях и сводится изучение различных проблем, относящихся к диффузии. Непрерывная теория диффузии с очень большой точностью передает действительный ход явлений, поскольку дело идет об обычных для нас ( макроскопических) пространственных и временных масштабах. Однако для малых частей пространства ( вмещающих лишь небольшое число частиц диффундирующего вещества) само понятие плотности теряет определенный смысл. Так как число отдельных частиц диффундирующего вещества очень велико, то законы распределения вероятностей для перемещений отдельных частиц приводят, в предположении независимости перемещений каждой частицы от других, к вполне определенным, уже не случайным закономерностям для перемещения диффундирующего вещества в целом: к тем самым дифференциальным уравнениям, на к-рых построена непрерывная теория. Приведенный пример достаточно типичен в том смысле, что очень часто на почве одного круга закономерностей ( в примере - законов движения отдельных частиц диффундирующего вещества) происходит образование другого, качественно нового рода закономерностей ( в примере - Дифференциальных уравнений непрерывной теории диффузии) через посредство статистики случайных явлений. [44]
Обычно содержательное описание СОИС излагается естественным языком. Основные понятия этого описания зафиксированы неявно, имеют широкую смысловую гамму. Закономерности и связи даются в общем виде, допускающем нередко различные трактовки. Сам механизм выводов основан на интуитивно понимаемой логике обобщений и умозаключений. Проблема состоит в том, как перейти от содержательного описания к моделям СОИС, где формальная схема требует однозначности понятий, связанных строгими логическими правилами, отражающими явно зафиксированные закономерности и отношения. Она усложняется еще и тем, что иерархические отношения в СОИС не удается отразить с помощью однозначных функций. В силу этого традиционные математические методы требуют существенного дополнения. Случайный характер развития процессов функционирования СОИС наиболее полно может быть отражен с помощью некоторой вероятностной математической структуры, учитывающей законы распределения вероятностей отдельных событий и рассматривающей все возможные направления развития процессов. Однако теоретические исследования и развертывание формальной теории в рамках такой вероятностной схемы затруднительны и вряд ли целесообразны. Такая математическая структура будет чрезвычайно сложной и громоздкой, что само по себе создает немалые трудности при описании и анализе процессов. Кроме того, из-за большого объема и сложности информации, а также необходимости рассмотрения всего множества траекторий процесса такая математическая теория может стать необозримой. [45]