Cтраница 1
Полухарактеристика снова пересекает дугу АВ в точке Mlt не пройдя ни через одну особую точку. Полухарактеристика кончается в седле, не встретив снова дугу АВ. В этом случае в силу основного соглашения надо свернуть направо или налево, и каждый из этих путей может нас привести или не привести к. Точка М0 может иметь тогда О, 1 или 2 последующих. [1]
На полухарактеристике можно найти точку, которая будет сколь угодно близка к какой-либо точке ее предельного цикла. [2]
Одной из двух полухарактеристик соответствует часть кривой С, расположенная справа от оси у, другой - часть кривой С, расположенная слева от этой оси. [3]
Так как по условию рассматриваемая полухарактеристика может пересекать экватор ( который является алгебраическим циклом) только в конечном числе точек, то на экваторе может находиться только конечное число точек а. Но тогда хотя бы одной точке а должно соответствовать бесчисленное множество точек fa, и, следовательно, характеристика является циклом. [4]
Таким образом, всякая полухарактеристика второго класса имеет предельный цикл. [5]
Первый случай имеет место, когда полухарактеристика неограничена; в этом случае говорят, что есть - расходящаяся характеристика. Второй случай соответствует ( - асимптотически устойчивой характеристике; третий - - устойчивости характеристики у в смысле Пуассона. Здесь Y, очевидно, является предельной характеристикой. [6]
Может, наконец, случиться, что полухарактеристика встречает два седла или даже больше; в этом случае точка М0 может иметь больше двух последующих. [7]
Разобьем теперь с помощью какой-либо точки М каждую траекторию на полутраектории, аналогичные полухарактеристикам первых двух мемуаров. [8]
С другой стороны, если ограниченная, без особых точек область D плоскости ху содержит полухарактеристику, то в области D лежит по меньшей мере одна замкнутая траектория, которая, очевидно, является предельным циклом. Ясно, что область такого рода необходимо есть кольцевая, расположенная вокруг некоторого непустого множества особых точек. [9]
Каждая алгебраическая Дуга, сколь бы мала она ни была, пересекающая этот цикл, пересечет и полухарактеристику в бесконечном множестве точек. [10]
Но геометрическое место точек, в которых угловой коэффициент касательной к характеристике равен tg y0, есть алгебраическая кривая и значит, по предположению, может пересекать рассматриваемую полухарактеристику только в конечном числе точек сс. [11]
Полухарактеристика снова пересекает дугу АВ в точке Mlt не пройдя ни через одну особую точку. Полухарактеристика кончается в седле, не встретив снова дугу АВ. В этом случае в силу основного соглашения надо свернуть направо или налево, и каждый из этих путей может нас привести или не привести к. Точка М0 может иметь тогда О, 1 или 2 последующих. [12]
Теорема 2.8.8. Пусть D - кольцевая область, ограниченная двумя вложенными друг в друга замкнутыми простыми кривыми С и С, причем множество D U С U С не содержит ни одной особой точки. Тогда, если все полухарактеристики, выходящие как из С, так и из С, входят в область D ( или выходят из нее), то D содержит по меньшей мере один предельный цикл. [13]
Рассмотрим какую-либо полу характеристик, мы будем продолжать неограниченно, если это можно сделать, не встретив ни одной особой точки. Если, напротив, двигаясь по этой полухарактеристике, мы придем в узел, то мы остановим ее в узле; если мы придем в седло, то нам представятся три возможных пути, по которым мы можем продолжить характеристику: первый - по прямому продолжению пути, которым мы шли до сих пор, и два других - направо и налево; кы условимся следовать одному из путей, ведущих направо или налево, никогда не выбирая того, который прямо перед нами. [14]
Особенность этого типа называется спиральной точкой или фокусом. Если a 0, то получаем неустойчивый фокус; в этом случае к точке О приближаются отрицательные полухарактеристики; г - - 0 при t - - - оо. [15]