Cтраница 1
Поля алгебраических чисел и содержащиеся в них кольца целых алгебраических чисел являются простейшими примерами и в то же время отправными пунктами для гораздо более общих теорий. Особенно большое значение эти связи имеют для самой теории алгебраических чисел, так как они помогают найти новые постановки вопросов, сопоставляя эту теорию с другими, которые ей во многом аналогичны, но в которых мы можем использовать аналитический аппарат или геометрическую интуицию. Это объясняет, почему дальше речь будет идти часто о вопросах, не относящихся, строго говоря, к теории алгебраических чисел. [1]
Теория полей алгебраических чисел очень тесно связанас с классической теорией чисел, в области которой русская, а теперь советская школа занимала и занимает ведущее положение. После переезда в 1922 г. Б. Н. Делоне в Ленинград был опубликован ряд его известных работ по диофантовым уравнениям 3 - й степени, содержавший и ряд геометро-алгебраических идей. [2]
При изучении полей алгебраических чисел важны некоторые неалгебраические свойства чисел, например, абсолютное значение а, вещественность, положительность. То, что эти свойства определяются с помощью алгебраических операций - f - и не однозначно, может быть показано на следующем примере. [3]
В случае полей алгебраических чисел теория полей классов не только описывает группу Ga ( Kab / K), но ввиду арифметического характера этого описания, позволяет детально изучить арифметику абелевых расширений К / К: законы разложения простых дивизоров поля К в поле К1 и законы взаимности. [4]
При изучении полей алгебраических чисел важны некоторые неалгебраические свойства чисел, например, абсолютное значение а, вещественность, положительность. То, что эти свойства определяются с помощью алгебраических операций и не однозначно, может быть показано на следующем примере. [5]
Голода и Шафаревича полей алгебраических чисел соответствуют бесконечным последовательностям очень плотных решеток ( см. разд. [6]
В работе исследуется задача погружения полей алгебраических чисел в поля с большей группой Галуа. Вычисляется второе препятствие к разрешимости задачи погружения. [7]
Вполне доступное изложение теории полей классов полей алгебраических чисел имеется в книге [56] Ленга. Теорему 18.5 можно легко получить, используя строение некоторых групп когомологий. Всякий, кто хорошо знаком с теорией полей классов, сможет легко разобрать доказательство теоремы Грюнвальда - Ванга, изложенное в книге Артина и Тейта; большинство других доказательств этого результата менее прозрачно. [8]
В этом параграфе будут исследованы свойства полей алгебраических чисел, группы Галуа которых имеют порядок, равный степени простого числа. [9]
Вопросы, связанные с критическими простыми дивизорами полей алгебраических чисел, могут быть поставлены и для алгебраических многообразий, определенных над полями алгебраических чисел и приводят нас к интересным задачам и некоторым результатам. [10]
В работе доказывается существование бесконечных неразветвленных расширений полей алгебраических чисел и полей, которые не могут быть вложены в одноклассные. [11]
Теория полей классов изучает арифметические свойства абелевых расширений полей алгебраических чисел и полей р-адических чисел. Несмотря на очень большое значение основных теорем этой теории, доказательства этих теорем в высшей степени неестественны и мало понятны. Причина этого заключается, видимо, в следующем. [12]
В этой работе исследуются алгебраические расширения K / k поля алгебраических чисел А; с заданными точками ветвления. Такая постановка вопроса подсказывается аналогией с теорией римано-вых поверхностей. Расширения с коммутативной группой Галуа рассматриваются в теории полей классов. Мы рассматриваем расширения, группы Галуа которых являются / - группами, т.е. имеют порядок вида / Q, где / - некоторое фиксированное простое число. [13]
Неприводимые многочлены над полем Q играют особую роль в теории полей алгебраических чисел. Так как умножением на подходящее натуральное число от многочлена из Q [ X ] всегда можно перейти к многочлену из Z [ X ], то естественно уточнить сначала связь между свойствами приводимости над Q и над Z. [14]
Теория полей и колец первоначально развивалась у нас как теория полей алгебраических чисел. [15]