Cтраница 2
Неприводимые многочлены над полем Q играют особую роль в теории полей алгебраических чисел. Так как умножением на подходящее натуральное число от многочлена из Q [ X ] всегда можно перейти к многочлену из Z [ Jf ], то естественно уточнить сначала связь между свойствами приводимости над Q и над Z. [16]
В нем указывалось на аналогию между задачей погружения в теории Галуа полей алгебраических чисел и задачей классификации эллиптических кривых, определенных над полями алгебраических чисел. Объекты, изучаемые в обеих теориях, обладают локальными инвариантами, связанными с пополнениями поля определения, и основной интерес представляют именно локально тривиальные объекты. В случае эллиптических кривых это приводит к двум конкретным гипотезам: 1) над заданным полем р-адических чисел имеется лишь конечное число бирационально неизоморфных кубических кривых с заданным абсолютным инвариантом и 2) если над полем алгебраических чисел k задана кубическая кривая С, то над k имеется лишь конечное число бирационально неизоморфных кубических кривых, которые над всеми р-адическими пополнениями поля k изоморфны С. [17]
Пользуясь определением нормализованных нормирований, аналогичным тому, которое было дано для полей алгебраических чисел, доказать, что формула произведения справедлива и для полей алгебраических функций. [18]
Пусть K / F - абелево расширение, причем К и F - поля алгебраических чисел. [19]
Для символа норменного вычета (), где a, ft - числа из поля алгебраических чисел & и р - - его простой идеал, дана конструкция, аналогичная определению вычета абелева дифференциала adft в точках римановой поверхности. [20]
Го х х Гг и Го конечно порождена и имеет представление матрицами с элементами из некоторого поля алгебраических чисел. [21]
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ - раздел теории чисел, основной задачей к-рого является изучение свойств целых чисел полей алгебраических чисел. Переход от целых рациональных чисел к целым алгебраическим не сопровождается ожидаемыми аналогиями. [22]
После работы по общему закону взаимности И.Р.Шафаревич снова обращается к обратной задаче теории Галуа, но теперь уже для полей алгебраических чисел. [23]
Доказать, что если это предложение имеет место в случае F Q, то оно справедливо и для всех полей F алгебраических чисел. [24]
Если общий наибольший делитель чисел р G ft, равен 1, то исчезновение первого препятствия для задачи погружения ( fc / ft, G, р) поля алгебраических чисел k достаточно для ее разрешимости. [25]
Если фактор-группа F индуцирует в группе характеров нормального делителя циклическую группу автоморфизмов, то исчезновение первого препятствия для задачи погружения ( k / Q, G, р) поля алгебраических чисел k достаточно для ее разрешимости. [26]
До середины XIX века алгебра чаще всего определялась как наука о решении алгебраических уравнений, Это определение стало явно несправедливым во второй половине XIX века, когда особенной высоты достигли исследования по теории групп, конечных и непрерывных, по теории полей алгебраических чисел и алгебраических функций, по гиперкомплексным числам. Вершиной алгебры в этот период считается теория Галуа, многие проблемы которой, возникшие в эти годы, надолго будут привлекать внимание исследователей. Из них наиболее ортодоксальные алгебраисты будут в течение десятилетий считать классическую проблематику теории Галуа главной Ф алгебре, и к проблемам этой области неизменно будет приписываться слово знаменитая. Тем не менее в соответствии с общим духом времени в начале XX века начинается период перестройки алгебры на теоретико-множественном и аксиоматическом фундаменте. В 20 - х годах все эти новые области алгебры получают даже наименование современной алгебры. Крупнейшей фигурой в этот период был Давид Гильберт ( 1862 - 1943), нашедший правильные пути органического соединения общих теоретико-множественных концепций и классической математики XIX века. [27]
Так, появились теория полей алгебраических чисел и полей алгебраических функций и связанная с ней теория идеалов. [28]
Известно, что среди полей алгебраических функций к полям алгебраических чисел ближе всего стоят те, у которых поле ko конечно. Ввиду этого с точки зрения теории полей алгебраических чисел было бы интересно получить для этого класса полей результат, аналогичный сформулированному выше. Решение, однако, известно только в промежуточном случае, когда поле констант ko алгебраически замкнуто. [29]
Здесь рассмотрен только один круг идей в теории полей алгебраических чисел и собраны примыкающие к этим идеям результаты и проблемы в самой теории алгебраических чисел и в близких к ней областях. [30]