Cтраница 2
Хепп и Йен сен [17] показали, что внутренний угловой момент 1 / 2 также является классическим нерелятивистским теоретико-полевым понятием. Пои этом Хепп и Йенсен выяснили несколько неправильных истолкований классической роли спинорных полей. [16]
Поставим задачу найти явный вид всех шаровых функций со спином 5 порядка J. При этом мы выясним, какие представления D / и сколько раз содержатся с бесконечномерном представлении, по которому преобразуется совокупность всех спинорных полей веса s, рассматриваемых на единичной сфере. [17]
В результате этого мы имеем наложенное на многообразие спинорное поле. Это спинорное поле определяется в зависимости от данной спиновой структуры. Естественно, можно получить и другие наложенные спинорные поля, компоненты которых непрерывно меняются от точки к точке. [18]
К счастью, особенно благодаря работам Джона Милнора [65], достигнут значительный прогресс в понимании спин-многообразия. Понятие спин-многообразие является новой и интересной интерпретацией спинорных полей в пространстве резонирующих микротопологий квантовой геометродинамики. Это понятие связано с амплитудой вероятности 3-геометрий, оснащенных обладающими неклассической двузначностью спиновыми структурами)), но в остальном идентичных. [19]
В данной главе мы проквантуем скалярное и спинорное поля методом функциональных интегралов по аналогии с той трактовкой квантовой механики, которая была дана в предыдущей главе. Далее мы введем взаимодействия, применим к ним теорию возмущений и сформулируем правила Фейнмана. Затем, подробно рассмотрев спинорные поля, завершим главу вычислением сечения пион-нуклонного рассеяния. [20]
Грина удовлетворяют нормальным тождествам Уорда. Если поля г), г /, А ц взаимодействуют еще со скалярными полями, то при соответствующем выборе потенциала за счет механизма Хиггса все физические частицы могут приобрести ненулевые массы. В то же время вид взаимодействия спинорных полей с векторными, ответственный за появление аномалий, не меняется. Поэтому все рассуждения относительно компенсации аномалий остаются в силе. [21]
В физике частиц очень часто приходится вычислять сечения различных процессов, например электрон-электронного рассеяния ее - - ее. Например, в частном случае де-рассеяния в первом приближении процесс представляется в виде фейнмановской диаграммы, изображенной на рис. 1.14, причем очень важным элементом этой диаграммы является распространение фотона между двумя электронами. Существуют правила Фейимана, которые позволяют сопоставить каждой диаграмме амплитуду рассеяния и затем по полной амплитуде ( для каждого процесса может существовать более одной диаграммы) прямо вычислить сечение. В данной и следующей главах будет показано, откуда берутся правила Фейнмана, и в частности как найти выражение для распространения виртуальной частицы. В следующей главе мы распространим эту трактовку на скалярные и спинорные поля, а в гл. В данной главе мы сохраняем постоянную Планка И во всех формулах, в которые она входит. [22]
Эти результаты применяются к случаю теории р4, где вычисляются 2 - и 4-точечные функции в первом порядке теории возмущений. Вводятся диаграммы Фейнмана и устанавливается различие между связными и несвязными диаграммами. Находится производящий функционал для связных диаграмм. Вводятся числа Грассмана и показывается, как производящий функционал для спинорного поля может быть записан с использованием элементов алгебры Грассмана. Вводится S-матрица и выводится редукционная формула, в которой S-матрица выражается через функциональные производные от Z. С помощью этой формулы находится амплитуда пион-нуклонного рассеяния во втором порядке теории возмущений и дается сводка правил Фейнмана для случая скалярных и спинорных полей. Вычисляется сечение я - рассеяния. [23]
Пусть множество Lt достаточно мало ( или имеет подходящую форму), так что не возникает глобальных препятствий для существования решений, рассматриваемых дифференциальных уравнений. При решении других дифференциальных уравнений может оказаться необходимым также ввести ограничения на форму области U. Более аккуратная трактовка состоит в том, что элементы последовательности рассматриваются как пучки. Но ни изложение теории пучков, ни даже точное определение понятия пучка в наши цели не входит. Существенным моментом является то, что свойство последовательности (6.7.49) ( и других точных последовательностей пучков, рассматриваемых ниже) быть точной доказывается локально. Вместо того чтобы фиксировать открытое множество U специального вида и рассматривать спинорные поля на U, мы требуем только, чтобы для всякой точки в М ( или в СМ) существовала некоторая окрестность, где уравнения разрешимы. [24]
Теперь нас интересуют более сложные системы с большим числом измерений. Методов, пригодных для решения нелинейных уравнений, настолько недостаточно, что даже для скалярных полей заданной системы в ( 1 1) измерениях в общем случае нельзя получить все зависящие от времени решения. Система синус - Гордона является скорее исключением, чем общим правилом, и ее разрешимость обеспечивается почленным разделением гамильтониана свободных частиц в соответствующим образом выбранных переменных. Конечно, если в двумерной теории ограничиться статическими в некоторой системе отсчета решениями, то в этой системе отсчета оказывается существенным только одно ( пространственное) измерение и полевые уравнения превращаются в обыкновенные дифференциальные уравнения. Обычные автономные дифференциальные уравнения второго порядка ( даже системы таких уравнений) решить не трудно, что подтверждается несколькими одномерными статическими решениями, приведенными в предыдущей главе. Но в случае двух или большего числа пространственных измерений даже статические решения подчиняются дифференциальным уравнениям в частных производных. Большинство реальных систем, например в физике элементарных частиц, включают нелинейно взаимодействующие скалярные, векторные и спинорные поля в ( 3 1) измерениях. [25]