Cтраница 2
Именно с помощью уточнения понятия доказательства и методов математической логики в работах К. Коэна было доказано, что континуум-гипотеза не может быть ни доказана, ни опровергнута на основе обычных аксиом теории множеств. [16]
В этом смысле те уточнения понятия доказательства, к-рые разработаны в матр-матич. [17]
Сказанное приводит нас к точной формулировке понятия теоремы. Сначала, однако, мы определим понятие доказательства. Sk высказываний рассматриваемой теории, каждое из которых либо является аксиомой, либо выводится из одного и ли более предыдущих высказываний этой последовательности по логическим правилам вывода. Теоремой, или доказуемым высказыванием, называется высказывание, являющееся последним высказыванием некоторого доказательства. Отметим сразу же, что любая аксиома является теоремой, причем доказательство ее состоит из одного шага. [18]
Некоторые формалисты указывают, что методы интуиционистской элементарной арифметики выходят за пределы того, что они считают финитным ( см. Гильберт и Бернайс [ 1934, стр. Утверждается, что в интуиционистском употреблении отрицания сложных формул и импликаций, у которых в антецеденте стоит сложная формула ( например, формула всеобщности или другая импликация), содержится общее логическое понятие интуиционистского доказательства. Именно благодаря такому употреблению отрицания и импликации Брауэр и его последователи сумели пойти в построении конструктивистской математики дальше, чем предшественник Брауэра Кронекер. [19]
Теперь изложим в том же стиле доказательство теоремы Геделя. Таким образом, возникает некоторое перечислимое множество, которое обычно задают как проекцию разрешимого множества. Именно, вводят некоторое понятие доказательства. При этом доказательства являются словами в некотором алфавите. Множество доказательств разрешимо, то есть есть алгоритм, отличающий настоящие доказательства от текстов, который таковыми не являются. [20]
Основным объектом изучения в математической логике являются различные исчисления. В понятие исчисления входят такие основные компоненты, как: а) язык ( формальный) исчисления; б) аксиомы исчисления; в) правила вывода. Понятие исчисления позволяет дать строгое математическое определение понятию доказательства и получить точные утверждения о невозможности доказательства тех или иных предложений теории. [21]
Значение Основ законодательства заключается в том, что они составляют нераздельные основные начала и общесоюзного и республиканского законодательства, формулируют и устанавливают во всесоюзном масштабе одинаково обязательные для всех союзных республик осн. В развитие этих Основ и на базе сформулированных в них принципов и положений общесоюзные и республиканские законодательные органы разрабатывают и утверждают законы, кодексы и другие нормативные акты. Осно - ы уголовного судопроизводства 1958 определяют задачи уголовного судопроизводства, устанавливают принципы уголовного процесса, важнейшие процессуальные права и обязанности граждан, учреждений и организаций, участвующих в процессе, формулируют главные положения, определяющие порядок возбуждения, расследования и судебного разбирательства уголовных дел, дают понятие доказательств по уголовному делу и устанавливают принципы их оценки су-дебно-следств. [22]
Во-первых, подобный же вопрос можно поставить и по поводу второго и третьего изложения. Современная математика умеет уточнять понятие доказательства, делать его более строгим. Однако в нашем изложении мы останемся на том уровне употребления этого понятия, на котором века стояло и чаще всего и сейчас стоит большая часть математиков. Доказательство - это рассуждение, которое убеждает. Этой не очень определенной концепции в большинстве случаев оказывается достаточно. [23]
Действительно, дизъюнкцию можно выразить через конъюнкцию и отрицание. Только при этом нам нужно будет модифицировать понятие доказательства, взяв вместо исходных формул, содержащих формульные переменные - таковыми являются тождественно истинные формулы исчисления высказываний, основная формула ( а) исчисления предикатов, аксиома равенства ( J2) и аксиома индукции-соответствующие схемы формул. Впрочем, аксиому индукции, как известно, с самого начала можно заменить схемой индукции. [24]
Как ни странно, они могут быть смоделированы довольно простым способом. Тем не менее, фрактальная математика часто кажется алогичной и неточной. Она кажется алогичной потому, что всех нас, даже не математиков, учили думать по Евклиду. То есть мы приближаем естественные объекты к простым формам, таким как детские рисунки сосен. Детали добавляются позднее, независимо от главной формы. Фрактальная математика кажется неточной, потому что традиционные математические доказательства трудно находить и развивать: наше понятие доказательства происходит, снова, из древнегреческой геометрии. [25]
ИП: Vx ( P ( x) v - lP ( x)) ], может быть проверено путем перебора элементов этой совокупности. Вообще интуициони-сты считают, что понятие эффективности способа построения и понятие доказательства по существу не могут быть точно ( формально) определены и что математика ( и любая ее содержат, часть) вообще не может быть уложена в рамки какой бы то ни было формальной системы. [26]