Cтраница 2
Параллельно происходило формирование К. Это еще один путь, приводящий к понятию идеала. [16]
Егор Иванович Золотарев ( 1847 - 1878), профессор Петербургского университета и адъюнкт Академии наук, одновременно с Дедекиндом разработал теорию делимости в полях алгебраических чисел. В отличие от Дедекинда, положившего в основу своей теории понятие идеала, Е. И. Золотарев строил теорию делимости фактически на понятии нормирования. [17]
Дедекин-дом к 1882 теории была выявлена роль целых элементов поля; но что еще более важно - это появление понятия идеала и простого идеала. Так были заложены основы одномерной К. [18]
Усилиями Дирихле, Куммера, Кронекера, Дедекинда, позже Минковского была создана законченная теория делимости для числовых полей, основанная на понятиях идеала, простого идеала. Однако открытым оставался вопрос о том, что происходит с простым идеалом ноля при включении его в надполе, и в связи с этой трудной проблемой Гильберт ввел ряд важных новых понятий, сформулировал и частично доказал основные относящиеся сюда результаты. Полное их доказательство и дальнейшее развитие стало делом некоторых из самых выдающихся его последователей. [19]
К числу идеалов [ фильтров ] принадлежит нижний конус av [ верхний конус ал ] для любого а е L. Импликация ( г х) ( z е /) [ ( х z) - - ( ze /) ] равносильна импликации ( ( х е 7) & ( eL)) - лн / е / [ ( х е /) & ( у е L) ( дс у е L) ], что сближает понятие идеала в решетках с одноименным понятием теории колец. Если ф - гомоморфизм решетки L на решетку L с нулем 0 [ с единицей 1 ], то полный прообраз р - ( 0) [ соответственно p - U) ] оказывается идеалом [ фильтром ] решетки L. В отличие от колец, не всякий идеал решетки оказывается ядерным. [20]
Существуют, однако, и иные типы моральных норм - норм, которые не запрещают, а предписывают или иные действия из числа дозволенных. Подобные нормы-предписания, в свою очередь, могут различаться по силе налагаемых ими обязательств и, соответственно, по силе санкций, с которыми связано их невыполнение. Самыми мягкими можно считать те нормы, которые характеризуются понятием идеала - следование им получает моральное одобрение со стороны окружающих, и потому они могут быть побуждающими к тем или иным действиям, однако, вообще говоря, никто не вправе заставлять другого строго соответствовать идеалу. [21]
Мы должны опять прервать наш обзор примеров некоммутативных колец, чтобы познакомиться с простейшим методом их конструкции. Как и в случае коммутативных колец, естественно обратить внимание на свойства, которыми обладают ядра гомоморфизмов. Очевидно, что если р: R - - Rf - гомоморфизм, то его ядро вместе с элементами а и Ь содержит и их сумму и вместе с элементом а содержит как ох, так и ха, где х - любой элемент кольца R. Мы сталкиваемся с тем, что понятие идеала коммутативного кольца в некоммутативном случае может быть обобщено тремя способами: а), б) и в) ниже. Рассмотрим подмножество IdRt содержащее вместе с любыми двумя элементами их сумму. [22]
В дальнейшем понятие идеального числа было заменено эквивалентным понятием идеала, к-рое удается описать средствами самого поля fe, и уже в сер. Поэтому современная теория Куммера излагается на языке дивизоров. Далее всюду идет речь лишь о таких полях. Понятие идеала тесно связано с понятием неассоциированных чисел, что способствует пониманию глубоких связей теории Куммера и теории единиц Дирихле. Куммеру и не удалось решить проблему Ферма, но его идеи вышли далеко за рамки этой задачи, и понятие идеала ныне является одним из главных для всей математики. [23]
Идеалы предложил Дедекинд, который намеревался, вводя идеальные элементы, восстановить основной закон единственности разложения числа на простые множители, нарушавшийся в алгебраических числовых полях. Аналогичным образом наибольший общий делитель двух чисел а и Ъ можно интерпретировать как множество всех чисел вида ах by, где х и у независимо принимают значения из множества всех целых чисел. Но в случае алгебраических числовых полей аналогичное утверждение перестает быть верным, и поэтому возникает необходимость рассматривать в качестве делителей не только числа, но и идеалы. По определению подмножество кольца R называется идеалом, если сумма и разность любых чисел из подмножества принадлежат ему же, равно как и произведение любого числа из подмножества и любого числа из кольца. С другой стороны, понятие идеала возникло в алгебраической геометрии. Алгебраическая поверхность в пространстве определяется одним алгебраическим уравнением / 0, где / - многочлен от координат. Все многочлены такого типа образуют идеал в кольце многочленов; алгебраическое многообразие состоит из точек, в которых все многочлены идеала обращаются в нуль. Именно для таких идеалов справедлива теорема Гильберта о базисе - один из основных инструментов Гильберта в изучении инвариантов. Эта теорема утверждает, что любой идеал кольца многочленов имеет конечный базис. Теорема Не-тера о вычетах содержит критерий, позволяющий нам решать, принадлежит ли тот или иной многочлен идеалу, элементы которого имеют общими лишь конечное число нулей. Для полиномиальных идеалов Ласкер, бол ее известный нематематикам как неоднократный чемпион мира по шахматам, получил результаты, показьюающие, что свойства таких идеалов значительно отличаются от того, что обнаружил Дедекинд в полях алгебраических чисел. [24]
Ml N пересечение ядер гомоморфизмов из Е в Е тривиально. Другое удачное обобщение - понятие терциарного идеала [4]: левый идеал / нетерова слева кольца R наз. Оба эти обобщения приводят к некоммутативным аналогам примерного разложения. [25]
В дальнейшем понятие идеального числа было заменено эквивалентным понятием идеала, к-рое удается описать средствами самого поля fe, и уже в сер. Поэтому современная теория Куммера излагается на языке дивизоров. Далее всюду идет речь лишь о таких полях. Понятие идеала тесно связано с понятием неассоциированных чисел, что способствует пониманию глубоких связей теории Куммера и теории единиц Дирихле. Куммеру и не удалось решить проблему Ферма, но его идеи вышли далеко за рамки этой задачи, и понятие идеала ныне является одним из главных для всей математики. [26]
Третье нарушение аналогии доставляют простые числа. СЗ ( У-1) простое число 5 ( 2 - - Y-1) ( 2 - У-1), однако число 7 остается простым. Естественно возникает вопрос: можно ли найти правила, к-рые давали бы однозначный ответ на вопрос - остается ли данное простое число простым при переходе к нек-рому расширению поляО или распадается, и тогда на сколько множителей. С привлечением идеальных чисел теорема об однозначности разложения восстанавливается ( с точностью до множителя, являющегося алгебраич. В дальнейшем понятие идеального числа было заменено эквивалентным понятием идеала. [27]
До сих пор мы упорно сохраняли все аксиомы, которым удовлетворяют обычные числа. Существуют, однако, веские основания, побуждающие отказаться от коммутативности умножения. Действительно, такие операции, как вращения твердого тела в пространстве, некоммутативны относительно своей композиции: для композиции двух вращений весьма существенно, производится ли сначала первое вращение и затем второе или же вращения выполняются в обратном порядке. Композиция рассматривается в данном случае как своего рода умножение. Вращения, если их записать в координатах, являются линейными преобразованиями. Линейные преобразования, поскольку их можно складывать и умножать, служат наиболее важным примером некоммутативных величин. Именно в этом и состоит главная цель теории представлений. Теория некоммутативных алгебр и их представлений была построена Эмми Нетер на новой, чисто концептуальной основе с использованием всех результатов, накопленных в течение десятилетий замечательными по богатству высказанных в них идей трудами Молина, Фробениуса, Диксона, Веддерберна и других авторов. И снова решающую роль играет понятие идеала, сформулированное в различных вариантах. Весьма полезным оказывается также понятие автоморфизмов, т.е. преобразований, которые можно производить в алгебре, не нарушая ее внутренних соотношений. [28]