Cтраница 1
Понятие интеграла Лебега не относится к тем, которые легко можно объяснить неспециалисту, но, поскольку оно очень важно для дальнейшего содержания этой книги, я все же постараюсь если не изложить его во всей полноте, то хотя бы дать представление о том, что это такое. Каждому ясно, что значит измерить длину отрезка прямой линии или площадь, ограниченную окружностью или какой-нибудь другой гладкой замкнутой кривой. В тех случаях, однако, когда требуется как-то измерить длину ( или площадь, или объем) множества точек, причудливым образом разбросанных по бесконечному числу отрезков, или каких-то кусочков плоскости или пространства, ограниченных кривыми линиями или поверхностями, или тем более в случаях, когда наше множество точек является столь сложным, что даже приведенное выше довольно запутанное объяснение не описывает его строения, наглядные представления о длине, площади и объеме отказываются служить и для точного определения соответствующих понятий приходится привлекать довольно абстрактные формальные математические рассуждения. Интеграл Лебега как раз и является инструментом, созданным для измерения сложных точечных множеств подобного рода. [1]
Понятие интеграла Лебега излагается в учебнике: А. Н. Колмогоров, С. [2]
Распространение понятия интеграла Лебега на случаи неограниченных функций и множеств бесконечной меры, рассмотренное в параграфах 5.4 и 5.5, может быть совершенно аналогично проведено и для интеграла Лебега - Стильтьеса. Действительно, любое утверждение и любая формула параграфов 5.4 и 5.5 сохраняются при замене меры Лебега и интеграла Лебега Р - мерой и интегралом Лебега - Стильтьеса относительно Р - меры. [3]
Мы систематически пользовались понятием интеграла Лебега; только в небольшом числе случаев мы рассматривали иные определения [ см. гл. [4]
Можно сразу ввести и понятие интеграла Лебега конструктивно, на основании теории измеримых функций, или как замыкание по соответствующей норме линейного функционала над ступенчатыми функциями, равного площади соответствующей ступенчатой фигуры. Однако вряд ли целесообразно так поступать, обходя понятие интеграла Римана на отрезке, где идея интеграла столь прозрачна и ясна. [5]
В этом параграфе мы распространим понятие интеграла Лебега на случай, когда подынтегральная функция может быть неограниченной, а множество, по которому производится интегрирование, может иметь бесконечную меру. [6]
Выше было приведено второе определение понятия интеграла Лебега, основанное на приближении интегрируемой функции произвольными ступенчатыми интегрируемыми функциями, не обязательно нижними или верхними. [7]
Читатель, не знакомый с понятием интеграла Лебега, может в этом примере ограничиться непрерывными функциями. Подробное изложение теории интегрирования дано в гл. [8]
ДАНЖУА ИНТЕГРАЛ - 1) Данжуа узкий ( специальный) интеграл - обобщение понятия интеграла Лебега. [9]
Вопросы сходимости и суммируемости общих ортогональных рядов - это, быть может, наиболее ярко выраженная область применения понятий интеграла Лебега и интеграла Лебега-Стильтьеса. Так, например, теорема Меньшова-Радемахера о сходимости общих ортогональных рядов обеспечивает сходимость почти всюду некоторых рядов Фурье с нерегулярными лакунами, в то время как теоремы о сходимости, полученные специально для рядов Фурье, не дают возможности ответить на этот вопрос в указанных случаях. Более того, проблемы сходимости ортогональных рядов тесно связаны со многими другими областями анализа, в частности с теорией вероятностей. Можно даже утверждать, что многие теоремы из теории ортогональных рядов и из теории вероятностей являются, собственно говоря, одними и теми же математическими фактами, только по-разному сформулированными. [10]
Под влиянием бесед с Барнетом весь первый год пребывания в Массачусетсом технологическом институте я потратил на поиски возможностей распространения понятия интеграла Лебега на случаи более сложные, чем те, которыми занимался сам Лебег. [11]
Однако пространство L % ( Q) обладает многими свойствами, которым обладает гильбертово ( полное) пространство L2 ( Q), определение которого базируется на понятии интеграла Лебега. Перечислим основные из этих свойств, хотя почти обо всех них мы уже говорили. [12]
Для читателей, знакомых с понятием интеграла Лебега по произвольной мере ( абстрактного интеграла Лебега) 1, заметим следующее. [13]
Это означает, что если когда-нибудь будет пересмотрена теория меры, понятие интеграла Лебега должно сохраниться. [14]
Мне кажется, что в статьях, написанных мной по этому вопросу, впервые было раскрыто нечто совершенно повое - возможность комбинирования лебеговой техники интегрирования с физическими идеями Гиббса. Тем не менее статьи ие содержали решения некоторых важных проблем, нужного для формального оправдания результатов Гиббса; такое решение лишь позже было получено в терминах, использующих понятие интеграла Лебега, Бернардом Купменом, Дж. Но это произошло лишь в 30 - х годах, когда представление о том, что идеи Гиббса и Лебега вовсе не являются совсем чуждыми друг другу, уже не казалось столь неожиданным. [15]