Cтраница 2
Метрические пространства позволяют также ввести понятие равномерно непрерывных отображений. Очевидно, что каждое равномерно непрерывное отображение непрерывно, однако обратное не имеет места. Понятие равномерной непрерывности не является топологическим; оно относится к конкретным метрикам на пространствах X и Y. Понятие равномерной непрерывности относится к теории равномерных пространств, развитой в гл. [16]
Между тем математическое различие этих понятий особенно сильно сказывается на школьном преподавании. Напомним прежде всего, что аккуратное введение определенного интеграла довольно сложно и, вне всякого сомнения, является слишком трудным для школы. Оно требует рассмотрения верхних и нижних интегральных сумм и оценки разностей между ними ( с использованием понятия равномерной непрерывности), причем предел интегральных сумм понимается не в обычном смысле ( скажем при х - - а или х - - оо), а по довольно сложному частично упорядоченному множеству всевозможных конечных разбиений отрезка [ а, 6 ], по которому производится интегрирование. Достаточно вспомнить, насколько длинным и сложным оказывается полное рассмотрение этого вопроса в университетских или пединститутских курсах анализа, чтобы стало ясно, что при попытке введения этого понятия в школу придется отказываться от логической строгости и даже точной формулировки того, что такое определенный интеграл. [17]
Метрические пространства позволяют также ввести понятие равномерно непрерывных отображений. Очевидно, что каждое равномерно непрерывное отображение непрерывно, однако обратное не имеет места. Понятие равномерной непрерывности не является топологическим; оно относится к конкретным метрикам на пространствах X и Y. Понятие равномерной непрерывности относится к теории равномерных пространств, развитой в гл. [18]