Cтраница 2
Следует отметить, что для того, чтобы прийти к понятию окрестности, мы исходили из расплывчатого понятия элемента, достаточно близкого к другому. Теперь, наоборот, понятие топологической структуры позволяет придать выражению такое-то свойство имеет место для всех точек, достаточно близких к а точный смысл; это означает по определению, что множество точек, обладающих этим свойством, является окрестностью ючки а в данной топологической структуре. [16]
Грубо говоря, топологическое пространство - это множество X, для которого определено понятие окрестности точки. В евклидовом пространстве К роль окрестностей играют открытые шары. [17]
Весьма существенно, что подходящие топологические пространства служат моделями, допускающими определение сходящихся предельных процессов с помощью понятия окрестности ( см. также пп. В конкретных случаях топология часто вводится прямо путем определения окрестностей или сходимости. [18]
Все многообразие различных случаев, встречающихся при определении предела в терминах неравенств, сводится к одному с помощью понятия окрестности. [19]
Весьма - существенно, что подходящие топологические пространства служат моделями, допускающими определение сходящихся предельных процессов с помощью понятия окрестности ( см. также пп. В конкретных случаях топология часто вводится прямо путем определения окрестностей или сходимости. [20]
Возможны также различные модификации описанной выше метрики в пространстве изображений, что приводит, очевидно, к изменению понятия сферических окрестностей: окрестности, сферические в одной метрике, могут не оказаться таковыми в другой метрике, и наоборот. [21]
В отличие от этого в работах [88, 124] было предложено определение топологической устойчивости замкнутых инвариантных множеств, которое опирается на понятие окрестности в пространстве X как топологического ( а не метрического) пространства. Здесь введено следующее понятие. [22]
Следует отметить, что эти два критерия существования предела функции, относящиеся к разным случаям и имеющие разную формулировку, благодаря удачно выбранной терминологии ( понятию окрестности) получили единое доказательство. [23]
В тексте теоремы 3 было введено понятие окрестности точки ае. [24]
Для изучения этой книги достаточно знания элементов высшей алгебры и теории множеств. Точнее, мы предполагаем, что читатель знаком с понятием функции ( или отображения) и примыкающими сюда понятиями области определения, области значений, образа, прообраза, взаимно однозначного отображения, отображения на, композиции отображений, отображения вложения и ограничения отображения; с понятием отношения эквивалентности и класса эквивалентности; с определением и простейшими свойствами замкнутых и открытых множеств; с понятиями окрестности, замыкания, внутренности, индуцированной топологии, прямого произведения, непрерывного отображения, гомеоморфизма, компактности, связности, открытого покрытия п-мерного евклидова пространства Rn и, наконец, с определением и основными свойствами гомоморфизма, автоайэрфизма, ядра и образа, группы, нормального делителя, факторгруппы, кольца, идеала ( двустороннего), группы перестановок, определителя и матрицы. [25]
Метрикой называется функция с действительными значениями, определенная для каждой пары элементов Еп. Будем обозначать метрику через d ( х, у); она удовлетворяет условию d ( х, у) 0 тогда и только тогда, когда х z /, d ( х, у) d ( у, х), d ( x, z) d ( х, у) d ( у, z) - Метрика может не существовать на произвольном множестве, но понятие окрестности сохраняется. На множестве определена топология, если существует система подмножеств ( называемых открытыми множествами, например открытые сферы в Еп), такая, что конечные пересечения и произвольные объединения элементов систе мы, все пространство и нулевое множество принадлежат этой системе - Для произвольного множества с топологией ( называемого топологи ческим пространством) окрестностью точки называется всякое мно / ке-1 ство, которое содержит открытое множество, включающее данную точку. Близость в том смысле, в каком она понимается в метри е ских пространствах, может не существовать. [26]
Алгоритмы локальной оптимизации связаны с понятием окрестности. В регулярных задачах математического программирования это понятие вводится естественным образом и является основным при разработке алгоритмов и исследовании их сходимости. Во многих задачах дискретной оптимизации понятие окрестности не удается ввести естественным образом, в этом состоит одна из принципиальных трудностей, возникающих при решении задач этого типа. [27]
Определим длину спрямляемой кривой в пространстве с помощью интегрирования вдоль этой кривой и введем понятие расстояния между двумя любыми конфигурациями как нижнюю грань ( наибольшую нижнюю границу) длин спрямляемых кривых, соединяющих эти две конфигурации. Расстояние между двумя конфигурациями PI и Р2 обозначим через PjP2 I - Теперь можно легко определить понятие окрестности. [28]
Общей топологии, как ее понимают сейчас, положил начало Хаусдорф ( ( XVII), гл. Аксиомами, принятыми им при этом за отправной пункт, были в основных чертах ( с точностью до различий, обусловленных его понятием окрестности) аксиомы ( Vi), ( VM), ( Vm), ( ViV) § ir ( H) § 8, а глава, в которой он развертывает их следствия, остается образцом аксиоматической теории, абстрактной, но заранее приспособленной к приложениям. [29]
Так как расстояние / ( лс) точки х до произвольного множества М есть непрерывная функция, то, в частности, расстояние х - а. Из этого следует, что всякий шар ( см. В)) есть открытое множество. В ряде случаев бывает удобно считать окрестностью точки а произвольное открытое множество, содержащее а. При таком расширении понятия окрестности определение предельной точки не меняется. [30]