Cтраница 4
Поэтому развиваются другие подходы, в частности подход, основанный на изучении схем алгоритмов. Однако и здесь положительные решения удается получать лишь для достаточно грубых приближений, близких iv конечным автоматам. Возможность получения положительных решений для класса всех алгоритмов появляется при ослаблении понятия полноты системы правил, напр, при отказе от требования конечного числа применений правил. Конечную нре дельно полную систему схем локальных правил ежазалось возможным построить для ( функционально полноте) класса всюду определенных программ в пек-ром простом базисе. Реальный смысл предельной полноты состоит, в частности, и том, что предельно полные1 сие тсмы являются полными в е) бычном смысл. [46]
В предположении, что непротиворечивость некоторой теории доказана или хотя бы принята на веру, имеет смысл поставить проблему полноты этой теории. Теория называется полной, если она содержит достаточное для какой-нибудь цели количество теорем. Исходя из различных целей, которые мы ставим при построении теории, мы приходим к различным техническим значениям понятия полноты. Ограничимся следующим из возможных определений: теория Z называется полной, если для любого высказывания S этой теории либо S, либо - 5 есть теорема. Определение это исходит из того обстоятельства, что любое высказывание S теории Z9 будучи интерпретировано в некоторой модели, оказывается непременно либо истинным, либо ложным. Следовательно, в этом случае либо S, либо - 5 оказывается истинным и должно быть теоремой в теории Z. Теория, являющаяся одновременно непротиворечивой и полной, является максимальной в отношении непротиворечивости - в том смысле, что добавление к такой теории в качестве аксиомы любого предложения, которое можно в ней сформулировать, но не являющегося ее теоремой, приводит к противоречивой теории. Проблема полноты может быть лучше всего рассмотрена по отношению к таким аксиоматическим теориям, в которые явным образом включена используемая теория логического вывода. [47]
Замечание 3.1. Из приведенного определения видно, что любая непрерывная в замкнутой области G функция является квадратично интегрируемой, поскольку оба интеграла, очевидно, являются сходящимися для непрерывной функции. Мы хотели бы обратить внимание читателя на то, что интегралы (3.1) должны рассматриваться в смысле Лебега, чтобы обеспечить справедливость некоторых получаемых позднее теоретических результатов, особенно тех, которые основаны на понятии полноты пространства L2 ( см. гл. Определение интеграла по Лебегу вместе с его основными свойствами вкратце обсуждается в гл. Однако для понимания материала знакомство с деталями теории Лебега на данном этапе не является необходимым. Функции, с которыми читатель имеет дело в инженерных и научных задачах, не имеющие сингулярностей слишком высокого порядка в том случае, когда они неограниченны ( ср. Скак в смысле Лебега, так и в классическом смысле Римана. [48]
Только в рамках ее понятий и конструкций вполне выясняются и становятся прозрачными фундаментальные концепции непрерывности, сходимости, параллельного перехода. Трудно назвать области математики, в к-рых понятия и язык О. В этом, в частности, проявляется ее объединяющая роль в математике. Примерами могут служить понятие бикомпактно-сти - абстракции от леммы Гейне - Бореля о выборе конечного подпокрытия отрезка, теорема о бикомпакт-ности произведения бикомпактных пространств ( за к-рой стоит, в качестве прообраза, утверждение о бикомпакт-ности конечномерного куба), теорема о том, что непрерывная действительная функция на бикомпакте ограничена и достигает наибольшего и наименьшего значений. Этот ряд примеров можно продолжить: понятие множества второй категории, понятие полноты, понятие расширения ( сам характер этих понятий и относящихся к ним результатов, важных для математики в целом, делает наиболее естественным и прозрачным их исследование в рамках О. [49]