Cтраница 1
Понятие топологического пространства можно рассматривать как аксиоматизацию понятия близости точки к множеству: точка близка к множеству, если она принадлежит его замыканию. В этой главе мы будем изучать теорию метрических пространств, которая является аксиоматизацией понятия близости точек: в метрическом пространстве каждой паре точек соответствует вещественное число - расстояние между ними, основные свойства которого описывает система аксиом. Расстояние между точками можно использовать для определения расстояния между точкой и множеством; считая все точки, расстояние которых до множества А равно нулю, близкими к множеству А и определяя замыкание множества А как множество всех таких точек, мы получаем топологическое пространство. Топологические пространства, которые могут быть получены таким образом, называются метризуемыми пространствами. [1]
Понятие топологического пространства полезно, но не обязательно для понимания последующего материала. [2]
Понятие топологического пространства настолько удобно, что определение непрерывности отображения дословно переносится из математического анализа. [3]
Понятие топологического пространства включает необозримо широкий класс объектов. Но в нашей книге речь идет лишь о достаточно хороших топологических пространствах, а именно, о многообразиях. Их определение будет дано ниже. [4]
Понятие топологического пространства было введено с большой общностью, что несомненно является его достоинством. Заметим, что свойства множеств во многих пространствах часто отличаются от соответствующих свойств множеств в метрических, в частности, в евклидовых пространствах. Для того чтобы теория множеств в топологических пространствах приобрела глубокое геометрическое содержание, необходимо сузить класс рассматриваемых пространств. Такое сужение достигается путем введения дополнительных ограничений, которым должны удовлетворять изучаемые пространства. [5]
В основе топологии лежит понятие топологического пространства. [6]
Эти три аксиомы определяют понятие топологического пространства. [7]
В § 1.1 определяется понятие топологического пространства, вводятся открытые множества, окрестности, базы, предбазы и базы в точке. Мы определяем также вес и характер топологического пространства и формулируем аксиомы счетности. Далее мы вводим замкнутые множества и рассматриваем операторы замыкания и взятия внутренности. В конце параграфа появляется понятие локально конечного семейства множеств. [8]
С чисто логической точки зрения представляется крайне естественной комбинация понятия топологического пространства со свойством локальной евклидовости, хотя все естественные примеры дополнительно имеют гладкую ( или PL) структуру. [9]
Важнейшим понятием как топологии, так и общей теории функций является понятие топологического пространства. Множество Е элементов произвольной природы может быть названо пространством лишь в том случае, когда для любого его подмножества - прямым или косвенным путем - определено понятие предельного элемента. Такое определение должно удовлетворять некоторой системе условий ( аксиом пространства), которую можно выбрать многими способами. Мы примем здесь систему аксиом, которая ведет к понятию топологического пространства, лежащего в основе почти всей современной топологии. С одной стороны, это пространство является настолько общим, что содержит все типы полезных или интересных для приложений пространств, а с другой стороны, его система аксиом - одна из самых простых. [10]
В § 1.4 вводится понятие непрерывного отображения, которое при изучении топологических пространств оказывается не менее важным, чем само понятие топологического пространства. Мы рассматриваем также замкнутые отображения, открытые отображения и гомеоморфизмы; последний класс отображений приводит к понятию гомеоморфности пространств. Далее мы рассматриваем инварианты и обратные инварианты одного класса отображений и в заключение приводим некоторые замечания о предмете общей топологии. [11]
Понятия равномерного пространства и пространства близости можно рассматривать с двух позиций - либо как аксиоматизации некоторых геометрических объектов, близкие к понятию топологического пространства, хотя и совершенно независимые от него, либо как удобные средства изучения топологических пространств. Вейль впервые ввел равномерности, они рассматривались именно как такое средство, пригодное в отличие от метрик для изучения топологических пространств без каких-либо предположений о счетности. Близости также могут быть использованы для изучения топологий; они особенно эффективны при исследовании компактнфикаций. Бурбаки, весьма подробно излагающий в своей книге теорию равномерных пространств, подчеркивает ее независимый характер, хотя она и очень тесно связана с теорией топологических пространств. Связь между этими двумя теориями основана на том, что равномерным пространствам и равномерно непрерывным функциям ставятся в соответствие ( неким стандартным образом) топологические пространства и непрерывные отображения. Этот переход от равномерных пространств к топологическим разбивается на два этапа; промежуточное положение занимают пространства близости. [12]
Чтобы иметь возможность рассматривать аффинные и проективные алгебраические многообразия с единой точки зрения, а также определить абстрактные проективные и более общие алгебраические многообразия, введем понятие топологического пространства с пучком функций. [13]
Топология может быть определена как теория так называемых топологических пространств. В настоящее время в математике принято следующее определение понятия топологического пространства. [14]
U П Y 7 0, это и означает, что Y - плотное множество в X. Понятие топологического пространства настолько удобно, что определение непрерывности отображения дословно переносится из математического анализа. [15]