Cтраница 2
Оно возникло так сказать по инерции. Автоматический перенос этого определения с метрического случая на топологический и привел к понятию счетно-компактного топологического пространства. [16]
БИКОМПАКТНОЕ ПРОСТРАНСТВО - топологическое пространство, в каждом открытом покрытии к-рого содержится конечное подпокрытие того же пространства. Следующие утверждения равносильны: 1) пространство А бикомпактно; 2) пересечение любой центрирование it системы замкнутых в X множеств не пусто; ci) пересечение любой максимальной центрированной системы замкнутых в X множеств не пусто; 4) пересечение произвольной убывающей вполне упорядоченной последовательности любой мощности непустых замкнутых в X множеств не пусто; 5) каждая центрированная система подмножеств множества X имеет точку прикосновения в X; 6) каждый ультрафильтр на X сходится в X; 7) для каждого бесконечного подмножества М множества X в X существует точка полного накопления. Подпространство re - мерного евклидова пространства бикомпактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Понятие бикомпактного топологического пространства занимает фундаментальное положение в топологии и современном функциональном анализе; при этом нек-рые принципиальные свойства Б.п. ( с многочисленными приложениями) рассматриваются уже в математическом анализе, например всякая непрерывная функция, определенная на Б.п., ограничена и принимает наибольшее и наименьшее значения. [17]
Важнейшим понятием как топологии, так и общей теории функций является понятие топологического пространства. Множество Е элементов произвольной природы может быть названо пространством лишь в том случае, когда для любого его подмножества - прямым или косвенным путем - определено понятие предельного элемента. Такое определение должно удовлетворять некоторой системе условий ( аксиом пространства), которую можно выбрать многими способами. Мы примем здесь систему аксиом, которая ведет к понятию топологического пространства, лежащего в основе почти всей современной топологии. С одной стороны, это пространство является настолько общим, что содержит все типы полезных или интересных для приложений пространств, а с другой стороны, его система аксиом - одна из самых простых. [18]