Cтраница 2
Строго дифференциал относится к действительным ( реально возможным) бесконечно малым изменениям состояния в равновесном процессе. При этом предполагается существование вполне определенной связи между переменными. Понятие вариации оолее широкое: через 6 обозначают все мыслимые ( виртуальные) бесконечно малые изменения функций, вне зависимости от того, сохраняется ли при этом состояние равновесия или нет. [16]
Герца прежде всего следует назвать А. Пуанкаре 4 дал оригинальное доказательство неголономного характера задачи о чистом качении шара по неподвижной плоскости ( пример Герца), показав, что варьированная кривая, совместимая с неголономными связями, не является кинематически возможной траекторией системы. Вслед за этим, трактуя понятие вариации в классическом смысле, он категорически исключил принцип Гамильтона - Остроградского из неголономной механики. [17]
Крут вопросов, к-рыми занимается В. В частности, все большее и большее внимание уделяется изучению функционалов / ( а:) весьма общего вида, задаваемых на множествах Gjf элементов нормированных пространств. Для задач такого рода уже трудно ввести понятие вариации. [18]
Круг вопросов, к-рыми занимается В. В частности, все большее и большее внимание уделяется изучению функционалов J ( х) весьма общего вида, задаваемых на множествах G элементов нормированных пространств. Для задач такого рода уже трудно ввести понятие вариации. [19]
В действительности релаксационные колебания происходят во всех системах, близких к исходной, и следовало бы изучать просто окрестность иевозмущенного поля в подходящем функциональном пространстве. Однако здесь, как н в других задачах теории возмущений, ради математического удобства формулировки результата исследования как асимптотического обычно вводится ( более или менее искусственно) малый параметр е и вместо окрестности рассматриваются однопараметрические деформации. Положение здесь такое же, как с понятием вариации: производная по направлению вектора ( дифференциал Гато) предшествует производной отображения ( дифференциалу Фреше) в историческом развитии. [20]
Мерой механического движения в принципе Гамильтона является функционал S, называемый действием по Гамильтону. Чтобы выявить экстремальные свойства действия SH для реально происходящих движений, нужно выбрать пучок ( множество) близких траекторий в пространстве конфигураций и произвести для них вычисления функционала SH. Выбор пучка траекторий сравнения играет важную роль для понимания сути принципа Гамильтона. Рассмотрим сначала понятие вариации функции. [21]
Эти переменные могут рассматриваться как прямоугольные координаты точки Р в пространстве п измерений. Если мы нанесем значения самой функции вдоль еще одного измерения, то получим некоторую поверхность в пространстве и 1 измерений. При этом нам понадобится понятие вариации, которое означает бесконечно малое изменение, подобное дифференциалу в обычном анализе. В отличие от обычного дифференцирования это бесконечно малое изменение не связано с действительным, изменением независимой переменной; это своего рода математический эксперимент, который мы проделываем над совокупностью переменных. Рассмотрим для примера шарик, покоящийся в нижней точке чаши. [22]
Идеи дифференциального и интегрального исчисления все шире и глубже распространяются на функции нескольких переменных. Невозможно перечислить имена хотя бы только крупнейших математиков, принимавших участие в этом развитии. Все же надо отметить, что за первый период новой эпохи заметно выделяется творчество двух великих ученых - Эйлера и Лагранжа, - которые явились основоположниками большого числа новых направлений, оказавшихся наиболее актуальными в дальнейшем развитии анализа. Эйлер известен не только как автор ряда специальных исследований ( подстановки Эйлера, § 63, эйлеровы интегралы, § 112, теорема об однородных функциях, § 93 и др.), но и как один из творцов теории дифференциальных уравнений и вариационного исчисления; он же расширил и систематизировал введенную Ньютоном идею бесконечного ряда и впервые выдвинул важнейшее понятие аналитической функции; наконец, труды Эйлера содержат и большое число весьма разнообразных прикладных задач, к решению которых он применял новые методы. Лагранжу принадлежит открытие фундаментальной роли теорем о средних значениях и первое систематическое использование их, в частности - оценка остаточного члена ряда Тэйлора, а также вообще систематическое выдвижение степенных рядов как основного аппарата исследования функций; далее, им впервые были изложены элементы вариационного исчисления как систематически построенной самостоятельной ветви математического анализа, с введением понятия вариации и установлением формальных правил варьирования. Но самым значительным творением Лагранжа в новой области было создание аналитической механики - систематическое построение основ теоретической механики методами анализа бесконечно малых. Это был первый систематический труд в этой области, ставший возможным после исследований Эйлера; вместе с тем он отличался такой законченностью, что и до настоящего времени сохраняет свое основоположное значение, несмотря на дальнейшее значительное развитие механики. [23]
Рети 3, который заметил, что они выражают лишь необходимое, а не достаточное условие действительности движения. Рети обобщил принцип Гельдера - Фосса таким образом, чтобы он представлял и достаточное условие действительного движения неголо-номной системы. Он установил также новый общий интегральный принцип неголономной механики ( принцип Рети), из которого принцип Гельдера - Фосса вытекает как частный случай. Рети подверг критике и исследования Журдена, относящиеся к интегральным вариационным принципам динамики неголономных систем. Журден 4 получил новый общий интегральный 92 принцип неголономной механики, отличный от принципа Рети ( принцип Журдена), и показал, что он эквивалентен принципу Гельдера-Фосса. Между Рети и Журденом возникла дискуссия, в результате которой выяснилось, что в исследованиях Фосса и Рети понятие вариации трактуется не точно в смысле Гельдера. Развивая последовательно и систематически неклассический вариант Гельдера, Журден показал, какую форму в действительности должен иметь принцип Гельдера в лагранжевых координатах. [24]