Cтраница 4
Наиболее привлекательное, что можно сказать об аспекте числа как меры, я приберег к концу. Конечно, школьник должен научиться вычислениям с величинами; чтобы учитель знал, что за этим кроется, я провел подробные рассуждения. Но в процессе обучения необходимо и вначале, и на последующем этапе прибегнуть к какой-то одной модели понятия величины. Для принятых нами аксиом все такие модели изоморфны; если рассмотреть одну модель, станут понятными все другие, коль скоро они будут распознаны. Значит, нужно поупражняться на одной модели понятия величины и поупражняться в распознании многих других или познакомиться со многими величинами и их взаимозависимостями. [46]
Условимся называть участвующую в некотором процессе величину у ограниченной ( в этом процессе), если существует такое постоянное положительное число С и такой момент в нашем процессе, после которого всегда у С. Это определение несколько напоминает собой определение бесконечно малой величины; имеется, однако, существенное различие: бесконечно малая величина должна с течением процесса становиться и оставаться ( по абсолютному значению) меньше любого положительного числа, а ограниченная - только меньше хотя бы одного положительного числа. Отсюда следует, конечно, что всякая бесконечно малая величина есть вместе с тем величина ограниченная. Но обратное утверждение было бы неверно. Так, меняющееся с течением времени расстояние земли ( или любой другой планеты) от солнца есть, очевидно, величина ограниченная, но не бесконечно малая. Таким образом, понятие ограниченной величины должно быть признано более общим ( широким), чем понятие величины бесконечно малой. [47]