Cтраница 1
Понятие аналитической функции является основным понятием теории функций комплексной переменной в силу особой роли, которую играет класс аналитических функций как при решении многочисленных математических проблем, так и при различных приложениях функций комплексной переменной в смежных областях естествознания. [1]
Заметим, что понятие аналитической функции, которое мы определяем для произвольной римановой поверхности, не имеет смысла для топологического многообразия, где можно говорить лишь о непрерывной функции. Герман Вейль впервые показал, как классическое понятие римановой поверхности, остававшееся в течение длительного времени интуитивным, можно строго определить, исходя из абстрактного многообразия. Такое определение всегда дается путем введения ( прямо или косвенно) угловой метрики. [2]
Введем теперь фундаментальное для изучаемой теории понятие аналитической функции. [3]
Основная задача, возникающая при определении понятия аналитической функции, состоит в том, чтобы придать четкий математический смысл выражению зависит от пути продолжения. Именно этой задачей мы сейчас и займемся. [4]
Борель высказал убеждение в том, что понятие аналитической функции, как его дал Всйсрштрасс, еще сильно привязано к частному классу аналитических выражений, именно - рядам Тейлора, и что если за элемент функции взять не ряд Тейлора К ( х - - а), а звездное разложение Миттаг-Леффлера, то по лучам звезды Миттаг-Лсффлера можно проскользнуть через полюсы аналитического выражения, всюду плотно лежащие на особой линии, во внешнее пространство, если звездное разложение Мпттаг-Леффлсра было, составлено для внутренней точки кривой. [5]
Совсем на иной путь вступили Данжуа, С. Н. Бершптейн и Карлеман, отыскивая наиболее естественное обобщение понятия аналитической функции. Большая оригинальность их исследований заключается в стремлении оставаться на почве одного только действительного перемен н о г о, не привлекая к рассмотрениям комплексных чисел. [6]
Оперировать с понятием функции, аналитической в области, часто бывает значительно удобнее, чем с понятием аналитической функции, так как термин функция, аналитическая в области D уже несет в себе информацию о множестве кривых, по которым можно аналитически продолжить исходный элемент. [7]
Оперировать с понятием функции:, аналитической в области, часто бывает значительно удобнее, чем с понятием аналитической функции, так как термин функция, аналитическая в области D уже песет в себе информацию о множестве кривых, по которым можно аналитически продолжить исходный элемент. [8]
Как было уже указано во введении, доказательство асимптотического закона распределения простых чисел, не опирающееся явно или неявно на понятие аналитической функции от комплексного переменного, еще никем не было найдено. [9]
Абстрактная риманова поверхность - это двумерное многообразие V, для которого параметрические окрестности и соответствующие топологические отображения выбраны так, чтобы имело смысл понятие аналитической функции с сохранением его локальных свойств. [10]
Однако если мы перейдем от плоскости к трехмерному пространству, то эти два метода отличаются друг от друга, и мы приходим к двум различным обобщениям понятия аналитической функции. [11]
Различие между элементарными и трансцендентными теоремами, конечно, связано с наличным состоянием наших знаний и является до известной степени неопределенным, поскольку рассуждения, не опирающиеся явно на понятие аналитической функции, могут тем не менее быть тесно связанными с родственными с ним идеями. Так, теория Винера, упомянутая в § 11, дает возможность вывести асимптотический закон распределения простых чисел из свойств C ( s) без какого бы то ни было прямого применения теории аналитических функций. И, однако, работа Винера базируется на теории преобразований Фурье, почти столь же сложной, как и теория аналитических функций, и отнюдь не отделенной от нее китайской стеной. [12]
Общая точка зрения, которой мы здесь придерживаемся, ведет, быть может, к тому заключению философского порядка, что достаточно простые сведения, относящиеся к чистой топологии, могут вполне естественным путем привести если не к самому понятию аналитической функции ( что было бы невозможно, так как последнее - понятие метрическое), то по крайней мере к топологиечским эквивалентам аналитических функций, то есть к топологическим основам теории функций. [13]
Согласимся с тем, что результат произвольного аналитического продолжения исходной голоморфной функции в данную точку плоскости зависит не только от самой этой точки, но и от пути, ведущего в эту точку. Основная задача, возникающая при определении понятия аналитической функции, состоит в том, чтобы придать четкий математический смысл выражению зависит от пути продолжения. Именно этой задачей мы сейчас и займемся. [14]
Гармонические функции двух действительных переменных столь тесно связаны с аналитическими функциями комплексного переменного, что всякое обобщение понятия аналитической функции немедленно приводит к соответствующему обобщению гармонических функций. [15]