Cтраница 2
Так же как и в случае одной комплексной переменной в теории функций многих комплексных переменных одним из основных понятий является понятие аналитической функции. [16]
На этих предложениях строится вся теория аналитических функций комплексного переменного. Любое из свойств а), б), в) и г) может быть положено в основу определения понятия аналитической функции комплексного переменного. Мы в нашем курсе будем пользоваться определением, основанным на свойстве а), и лишь впоследствии покажем, что это определение эквивалентно тому, в котором участвуют степенные ряды. [17]
Впервые строгое доказательство основной теоремы было предложено Гауссом в 1779 г. С тех пор появилось много вариантов доказательства, различающихся между собой, так сказать, степенью алгебраичности. Необходимость опираться на свойства непрерывности полей R и С ( иначе, на их топологию) проявляется в той или иной форме; есть даже совсем не алгебраическое и очень короткое доказательство, основывающееся на довольно глубоком понятии аналитической функции комплексной переменной. Сейчас будет приведено доказательство, основанное на элементарных сведениях из математического анализа и восходящее к идеям Даламбера, Эйлера, Гаусса, Коши, Аргана. [18]
Впервые строгое доказательство основной теоремы было предложено Гауссом в 1779 г. С тех пор явилось много вариантов доказательства, различающихся между собой, так сказать, степенью алгебраич-ности. Необходимость опираться на свойства непрерывности полей R и С ( иначе: на их топологию) проявляется в той или иной форме; есть даже совсем не алгебраическое и совсем короткое доказательство, основывающееся на довольно глубоком понятии аналитической функции комплексной переменной. Сейчас будет приведено доказательство, основанное на элементарных сведениях из математического анализа и восходящее к идеям Даламбера, Эйлера, Гаусса, Коши, Аргана. [19]
Точнее говоря, регулярную функцию с заданной областью определения следует считать не окончательно данным объектом, а лишь исходным элементом некоторой функгии, определенной, вообще говоря, более широко. Последовательное развитие этих соображений приводит к понятию аналитической функции, которое впервые ввел в математику замечательный немецкий ученый Карл Вейерштрасс. [20]
Приведенное здесь определение аналитической функции отличается от обычно принятого в литературе дополнительным требованием непрерывности производной. Это сделано с целью облегчения последующих доказательств. Кроме того, как это следует из более подробного исследования, математическое содержание понятия аналитической функции при этом не меняется. В частности, можно показать, что при дополнительном требовании непрерывности функции f ( z) в области Q выполнение условий Коши - Римана (1.17) всюду в этой области является необходимым и достаточным для аналитичности f ( z) и непрерывности всех ее производных в области Q. [21]