Cтраница 1
Понятие вещественного числа принадлежит к основным математическим понятиям. Существуют различные подходы к определению вещественного числа ( метод сечений, определение вещественного числа как бесконечная десятичная дробь и др.), однако наиболее логичным и простым является аксиоматический метод введения вещественного числа. Заметим, что все методы введения вещественного числа эквивалентны, так как ни в одном из них не устанавливается факт существования вещественного числа. Поэтому во всех случаях необходимо вводить аксиому существования вещественного числа. Поскольку же использование аксиом неизбежно, проще всего их сразу сформулировать и перейти к непосред: ственному изложению основного материала. [1]
Как уже отмечалось, понятие вещественного числа ( соответствующего точке прямой линии) было выработано только в конце XIX века. [2]
И здесь, так же как в эволюции понятия вещественного числа ( см. Исторический очерк к главе IV), ослабление духа строгости в процессе упадка греческой науки приводит к возврату к наивной точке ярения, в некоторых отношениях более близкой к нашей, чем строгая евклидова концепции. [3]
Отождествляя эквивалентные фундаментальные последовательности, мы приходим к понятию вещественного числа. [4]
До сих пор в математике было употребительно несколько определений понятия вещественного числа, и полагали, что можно доказать эквивалентность этих определений. [5]
Наша цель состоит лишь в том, чтобы прочнее связать понятие вещественного числа с наглядными представлениями и по возможности рассеять то чувство некоторого недоверия, которое подчас испытывает учащийся по отношению к иррациональным числам. [6]
Как известно, в основе математического аппарата механики сплошных сред лежит понятие вещественного числа. Для исследователей, работающих в прикладных областях, принятая концепция вещественного числа является настолько привычной и естественной, что воспринимается как некоторая данность, которая не нуждается ни в каких дальнейших исследованиях. [7]
При доказательстве теоремы обязательно должно быть использовано то или иное определение понятия вещественного числа. [8]
В варианте теории множеств, использующем аксиому выбора, эти определения эквивалентны обычно используемым определениям понятий вещественного числа и последовательности вещественных чисел. [9]
Владение такой системой и уверенность в числовых расчетах, которую это не могло не породить, действительно, неизбежно приводят к наивному понятию вещественного числа, ничем не отличающемуся от того, которое встречается и сегодня ( в связи с десятичной системой) в элементарном обучении или у физиков и инженеров. [10]
Числа рациональные и иррациональные получили общее название вещественных ( или действительных) чисел. Понятие вещественного числа является одним из основных понятий математического анализа. [11]
Имеется небольшое различие между трактовкой аксиомы Архимеда здесь и в цитируемой литературе. Мы свободно пользуемся понятием вещественного числа, в то время как обычно в соответствующей литературе этого избегают. Поэтому принятый подход состоит в возможности мажорировать большее количество соответствующим прибавлением меньшего ( ср. [12]
Так как точки - поскольку понятие вещественного числа сохраняется в его объемнонеопределенной всеобщности - не образуют определенной в себе и ограниченной совокупности, то бессмысленно строить на основе такой категории предметов систему геометрии так, как мы здесь в общих чертах пытались построить анализ на основе понятия натурального числа. Наоборот, чтобы получить объемноопределечную систему точек мы вынуждены обратиться к логически-арифметической конструкции. Поэтому нельзя в геометрию ввести непрерывность при помощи какой-нибудь аксиомы дедекиндова сечения или чего-либо подобного, геометрия непрерывности не может быть создана как самостоятельная аксиоматическая наука. Здесь нужно итти аналитическим путем: нужно перевести уже готовый анализ на язык геометрии с помощью переводного словаря, каким является понятие координат. [13]
Мы не будем останавливаться здесь на помощи, оказываемой логарифмами в числовых расчетах; с теоретической точки зрения их роль стаповится особенно значительной после возникновения исчисления бесконечно малых, с открытием рядов для функций log ( 1 х) и ех и дифференциальных свойств атих функций ( см. Фупкц. Что касается определения показательных функций и логарифмов, то до середины XIX пека ограничивались интуитивным допущением возможности продолжения по непрерывности функции ах, определенной для всех рациональных х, на множество всех вещественных чисел; и только после того, как понятие вещественного числа было окончательно уточнено и выведено из понятия рационального числа, позаботились дать этому продолжению строгое обоснование. Аналогичный принцип продолжения, примененный надлежащим образом, лежит также в основе рассуждения, посредством которого мы установили предложения 1 и 2 § 2, откуда вытекает но только определение степеней и логарифмов, но, как мы это увидим в главе VIII, и измерение углов. [14]
Если какому-нибудь понятию присвоены признаки, которые друг другу противоречат, то я скажу: это понятие математически не существует. Если же удается доказать, что свойства, которыми обладает некоторое понятие, никогда не приведут с помощью конечного числа умозаключений к противоречию, то я скажу, что существование этого математического понятия, например, числа или функции, удовлетворяющего определенным условиям, доказано. В рассматриваемом случае, где речь идет об аксиомах арифметики вещественных чисел, доказательство непротиворечивости этих аксиом равносильно доказательству математического существования понятия вещественных чисел, или континуума. В самом деле, если удастся полностью доказать непротиворечивость этих аксиом, то все соображения, которые подчас приводились против существования понятия вещественных чисел, теряют всякое основание. Правда, понятие вещественных чисел, то есть континуума, представляет собой при вышеизложенной точке зрения не просто совокупность всех возможных законов, которым могут следовать элементы какого-либо фундаментального ряда, но систему элементов, взаимные соотношения между которыми устанавливаются системой аксиом и для которых справедливы все те, и только те положения, которые могут быть получены из этих аксиом конечным числом логических умозаключений ( цитируется по книге: Проблемы Гильберта. [15]