Cтраница 2
Если какому-нибудь понятию присвоены признаки, которые друг другу противоречат, то я скажу: это понятие математически не существует. Если же удается доказать, что свойства, которыми обладает некоторое понятие, никогда не приведут с помощью конечного числа умозаключений к противоречию, то я скажу, что существование этого математического понятия, например, числа или функции, удовлетворяющего определенным условиям, доказано. В рассматриваемом случае, где речь идет об аксиомах арифметики вещественных чисел, доказательство непротиворечивости этих аксиом равносильно доказательству математического существования понятия вещественных чисел, или континуума. В самом деле, если удастся полностью доказать непротиворечивость этих аксиом, то все соображения, которые подчас приводились против существования понятия вещественных чисел, теряют всякое основание. Правда, понятие вещественных чисел, то есть континуума, представляет собой при вышеизложенной точке зрения не просто совокупность всех возможных законов, которым могут следовать элементы какого-либо фундаментального ряда, но систему элементов, взаимные соотношения между которыми устанавливаются системой аксиом и для которых справедливы все те, и только те положения, которые могут быть получены из этих аксиом конечным числом логических умозаключений ( цитируется по книге: Проблемы Гильберта. [16]
Если какому-нибудь понятию присвоены признаки, которые друг другу противоречат, то я скажу: это понятие математически не существует. Если же удается доказать, что свойства, которыми обладает некоторое понятие, никогда не приведут с помощью конечного числа умозаключений к противоречию, то я скажу, что существование этого математического понятия, например, числа или функции, удовлетворяющего определенным условиям, доказано. В рассматриваемом случае, где речь идет об аксиомах арифметики вещественных чисел, доказательство непротиворечивости этих аксиом равносильно доказательству математического существования понятия вещественных чисел, или континуума. В самом деле, если удастся полностью доказать непротиворечивость этих аксиом, то все соображения, которые подчас приводились против существования понятия вещественных чисел, теряют всякое основание. Правда, понятие вещественных чисел, то есть континуума, представляет собой при вышеизложенной точке зрения не просто совокупность всех возможных законов, которым могут следовать элементы какого-либо фундаментального ряда, но систему элементов, взаимные соотношения между которыми устанавливаются системой аксиом и для которых справедливы все те, и только те положения, которые могут быть получены из этих аксиом конечным числом логических умозаключений ( цитируется по книге: Проблемы Гильберта. [17]
Обычно полагают, что антиномии теории множеств свойственны только отдаленнейшим областям математического мира и никоим образом не угрожают внутренней прочности и безопасности самой математики, собственному ядру ее. Однако почти все разъяснения, данные относительно этих антиномий авторитетными лицами ( с целью опровергнуть их существование или сгладить их), непохожи вовсе на убеждения, возникшие из совершенно непреодолимой и бесспорной очевидности, они относятся к тем полуискренним попыткам самообмана, которые так часто встречаются в сфере политики и философии. Действительно, всякое серьезное и искреннее размышление должно убедить нас, что указанные противоречия в пограничных частях математики следует рассматривать как симптомы некоторого неблагополучия всей этой науки, в противоречиях этих открыто выступает то, что скрывается внешне блестящим и крепким видом математического здания, - выступает именно внутренняя непрочность фундамента, на котором покоится вся постройка. Я знаю только две попытки вырвать зло с корнем. Автором первой является Броуер. Уже в 1907 г. им были высказаны некоторые идеи, намечающие общее направление задуманной им реформы теории множеств и анализа, но лишь в последние годы из этих идей была создана Броуером цельная последовательная система. Связанные с этим обоснованием трудности лучше всего выяснить на понятиях вещественного числа и континуума; я буду поэтому в дальнейшем исходить из этих понятий и сперва вкратце намечу существеннейшие пункты моей србственной попытки, а вслед за тем изложу вольным образом броуеровские идеи. [18]