Cтраница 2
Так как точки - поскольку понятие вещественного числа сохраняется в его объемнонеопределенной всеобщности - не образуют определенной в себе и ограниченной совокупности, то бессмысленно строить на основе такой категории предметов систему геометрии так, как мы здесь в общих чертах пытались построить анализ на основе понятия натурального числа. Наоборот, чтобы получить объемноопределечную систему точек мы вынуждены обратиться к логически-арифметической конструкции. Поэтому нельзя в геометрию ввести непрерывность при помощи какой-нибудь аксиомы дедекиндова сечения или чего-либо подобного, геометрия непрерывности не может быть создана как самостоятельная аксиоматическая наука. Здесь нужно итти аналитическим путем: нужно перевести уже готовый анализ на язык геометрии с помощью переводного словаря, каким является понятие координат. [16]
Абстракция потенциальной осуществимости, позволяющая рассматривать свойства таких незаконченных ( и никогда не могущих быть законченными) процессов и состоящая в отвлечении от ограниченности наших конструктивных возможностей, обусловленных ограниченностью человеческой жизни в пространстве и времени, используется при формулировке всех основных математических понятий, в том числе и понятий натурального числа и алгоритма. [17]
При внимательном отношении к этим явлениям следует отказаться от традиционной т, зр. В ультраинтуиционистской математике язык богаче - он содержит модальности и дает возможность трактовать правила и способы гораздо более общих видов, чем в традиц. Понятие натурального числа перестает быть первоначальным и оказывается зависящим от нек-рой тактики внимания. Возникают существенно различные натуральные ряды, причем само понятие натурального ряда выражается, помимо прочего, через тактику внимания и понятия С. [18]
Так возникло понятие натурального числа. Каждое натуральное число является характеристикой класса непустых равносильных конечных множеств. Последнее предложение показывает, что понятие натурального числа возникло из более широкого понятия - понятия множества. [19]
Многие понятия, которые должны быть определены, в школьном курсе математики совсем не определяются ( они считаются известными каждому из его житейского опыта, например понятие суммы натуральных чисел) или вместо определения понятий даются поясняющие их описания, которые опираются не на первичные понятия и аксиомы, а на представления, почерпнутые из практики или из других наук. Например, вместо определения понятия натурального числа в школьном курсе математики даются поясняющие это понятие описания: натуральное число есть результат счета и натуральное число есть единица или собрание единиц. Оба эти описания, не являясь определениями, вместе t тем создают у учащихся такое представление о содержании понятия натурального числа, которое позволяет им усвоить курс школьной арифметики. Поскольку определения и доказательства, приводимые в школьных курсах математики, не всегда удовлетворяют тем требованиям логической строгости, о которых мы говорили выше, естественно, что и уровень требований на экзаменах по математике, которые предъявляются и поступающим в вузы, не превышает соответствующего уровня школьных учебников. [20]
Принять эту гипотезу побудил, повидимому, только пример реальных вещей, в смысле реального внешнего мира, который считается в себе сущим и определенным по своим свойствам. Если есть по своему содержанию ясное и. В, то положение х имеет свойство ( S устанавливает для любого подобного предмета х совершенно определенное об-стояние, которое либо существует либо не существует, суждение само по себе здесь истинно или ложно, без всяких сомнений и колебаний и без возможности какой-либо третьей, лежащей между двумя этими противоположными взглядами, примирительной точки зрения. Опираясь на заданный нам в интуиции процесс образования натуральных чисел, мы придерживаемся твердо взгляда, что понятие натурального числа объемноопределенно, точно так же обстоит дело в таком случае и с понятием рационального числа. Но, конечно, не объемноопределенны понятия предмет, свойство натуральных чисел и подобные им понятия. Хорошо было бы, не довольствуясь вышеприведенными соображениями, постичь этот факт в непосредственной интуиции. [21]
Поэтому должно быть доказано, что мы пренебрегаем только посторонним. Другая состоит в том, что от неясности понятий пытались до последнего времени избавиться в математике только одним способом - установлением ( различных) систем определений. Но ясность понятий, вводимых определениями, не может превышать ясности первоначальных понятий, к числу к-рых относилось понятие натурального числа. Но само это понятие не может быть сделано ясным посредством определений традиц. Всякое натуральное число должно быть связано с нулем способом своего получения из нуля путем после-доват. [22]