Cтраница 1
Понятие натуральных чисел не появляется у нас как чистое понятие. С самого начала оно выступает в облачении свойств, которые я могу выявить простым рассмотрением. Я сейчас покажу вам, что к этим свойствам относятся и те, которые вы описываете при помощи аксиом Пеано. [1]
Понятие натурального числа относится к простейшим, первоначальным понятиям математики и не подлежит определению через другие, более простые понятия. [2]
Понятие натурального числа относится к простейшим, первоначальным понятиям математики и не определяется через другие, более простые понятия. [3]
Понятие натурального числа относится к простейшим, первоначальным понятиям математики и не подлежит определению через другие, более простые понятия. [4]
Так возникло понятие натурального числа. Каждое натуральное число является характеристикой класса непустых равносильных конечных множеств. Последнее предложение показывает, что понятие натурального числа возникло из более широкого понятия - понятия множества. [5]
Ясно: Пиаже считает, что понятие натурального числа можно образовать, исходя из мощностей. Для той стадии математики, на которой находятся исследуемые, это может быть математически верным ( лишь для отдельных натуральных чисел, а не для общего понятия числа), это приводит к тому, чтобы поверить, что это верно и психологически, - Пиаже старается обосновать в возрастной психологии дедуктивную систему математики, которую он случайно знает. [6]
Как известно [2], из того, что понятие натурального числа в поле или кольце формульное, вытекает рекурсивная неразрешимость элементарной теории такого кольца. [7]
Можно было бы ожидать, что основные понятия математики будут простыми и ясными, но ваше понятие натурального числа оказывается довольно сложным. [8]
Во многих курсах множества используют для введения или - на более высокой ступени - для обоснования понятия натурального числа. Выше уже разъяснялось, что для этого множества не годятся. Здесь важно отметить, что при введении натуральных чисел количественный аспект вскоре вытесняется и что формальное обоснование и без того является чужеродным телом. Это означает, что понятие множества служит в оперативном отношении лишь очень не на долго; оно становится ненужным и в следующих разделах курса больше не появляется. Или того хуже: автор напрягает все силы, чтобы снова вернуться к понятию множества, и все возможное, а порой и невозможное, излагает теоретико-множественным языком; некоторые примеры нелепостей приведены выше. [9]
Как писал американский математик Эмиль Пост, понятие вычислимости может сыграть в истории дискретной математики роль, уступающую по значению лишь понятию натурального числа. [10]
Этот факт является логически чрезвычайно важным, ибо для установления равночисленности конечных множеств нет необходимости обладать понятием счета, а значит, и обладать понятием натурального числа, при помощи которого мы вводим и понятие счета, и понятие равночисленности. Напротив, теперь натуральное число получило новое освещение: натуральное число есть количественная характеристика, общая всем эквивалентным между собой конечным множествам. Например, натуральное число 100 есть то абстрактное общее, что свойственно всем множествам, в состав которых входит 100 каких-либо объектов конкретных или отвлеченных. [11]
Число - это важнейшее математическое понятие. Возникновение понятия натурального числа относится к первобытному обществу и было обусловлено необходимостью счета в практической деятельности человека. Первоначально понятие отвлеченного числа отсутствовало-число было привязано к тем предметам, которые пересчитывали, и в языке первобытных народов существовали различные словесные обороты для обозначения числа разных предметов. [12]
Многие понятия, которые должны быть определены, в школьном курсе математики совсем не определяются ( они считаются известными каждому из его житейского опыта, например понятие суммы натуральных чисел) или вместо определения понятий даются поясняющие их описания, которые опираются не на первичные понятия и аксиомы, а на представления, почерпнутые из практики или из других наук. Например, вместо определения понятия натурального числа в школьном курсе математики даются поясняющие это понятие описания: натуральное число есть результат счета и натуральное число есть единица или собрание единиц. Оба эти описания, не являясь определениями, вместе t тем создают у учащихся такое представление о содержании понятия натурального числа, которое позволяет им усвоить курс школьной арифметики. Поскольку определения и доказательства, приводимые в школьных курсах математики, не всегда удовлетворяют тем требованиям логической строгости, о которых мы говорили выше, естественно, что и уровень требований на экзаменах по математике, которые предъявляются и поступающим в вузы, не превышает соответствующего уровня школьных учебников. [13]
Понятие конечного множества мы считаем интуитивно ясным н относим его к числу исходных понятий. Можно сделать и обратное: свести понятие натурального числа к понятию конечного множества. Эта редукция осуществляется в гл. [14]
Цермело в имеющей решающее значение III аксиоме о подмножествах), большую точность, чем в казавшемся мне неудовлетворительном цермеловском определении. Попытка сформулировать эти принципы в виде аксиом образования множеств и выразить в явном виде требование, запрещающее существование всех множеств, кроме тех, которые допускают построение с помощью содержащихся в этих аксиомах конструктивных принципов, применяемых конечное число раз, не предполагая при этом известным понятие натурального числа, привела меня к далеко идущей и все более усложняющейся формализации, так и не доведенной до окончательного результата. Лишь в связи с общефилософскими идеями, к которым я в конце концов пришел после отхода от конвенционализма, мне удалось достичь ясного понимания того, что я столкнулся здесь со схоластической псевдопроблемой, и укрепиться в твердом убеждении ( в согласии с Пуанкаре, сколь ни мало я разделяю его философскую установку в остальных вопросах): представление об итерации - ряде натуральных чисел - составляет самую основу математического мышления; и это вопреки теории цепей Дедекинда, нацеленной на то, чтобы обосновать определение и умозаключение путем совершенной индукции силлогистически, без обращения к упомянутому выше наглядному представлению. Для того чтобы с помощью наших принципов можно было построить некоторую математическую теорию, необходим фундамент: какая-то основная категория и какое-то первичное отношение. Величине математики я усматриваю именно в том, что почти во всех ее теоремах в силу самой ее сущности всякий вопрос о бесконечном решается на уровне конечного; эта бесконечность математической проблемы базируется, однако, на том, что последний фундамент математики образуют бесконечный ряд натуральных чисел и связанное с ним понятие существования. Например, великая теорема Ферма сама по себе имеет смысл и либо истинна, либо ложна. Однако если я воспользуюсь каким-либо систематическим методом и начну подставлять по порядку все числа в обе части уравнения Ферма, то получить ответ на вопрос, истинна или ложна эта теорема, мне не удастся. [15]