Cтраница 3
В [16] формируются численные методы поиска экстремума разрывных показателей, по своему содержанию аналогичные известным градиентным методам для непрерывно дифференцируемых показателей. Показано, что для этого необходимо в соответствующих методах для непрерывно дифференцируемых функций использовать вместо градиента понятие аппрок-симационного градиента. [31]
Таким образом, V ( / формально может рассматриваться как произведение символического вектора у на скаляр U. Понятно, что можно говорить о градиенте не только функции U, но и любой скалярной функции координат. Понятие градиента широко применяется в самых разнообразных вопросах физики и математики. [32]
При переходе от одной точки к другой как направление градиента, так и его модуль, вообще говоря, меняются. Понятие градиента естественным образом переносится на функции любого числа переменных. [33]
От изложенных представлений, применяемых в механике сплошной среды, здесь можно отказаться, так как в статической теории упругости временные процессы не рассматриваются и в дальнейшем не будут обсуждаться также упругие динамические явления. Не будет также применяться понятие градиента деформаций, которое вводится вообще в механике сплошной среды в качестве исходного для меры деформаций. Наконец, будет также показано, что при ограничении на малость деформаций, которое является естественным в линейной теории упругости, различие между ла-гранжевым и эйлеровым описаниями исчезает. [34]
Эта скорость будет зависеть от направления, вдоль которого взяты точки. В курсе математики пользуются понятием градиента скалярной функции. Градиентом скалярной функции называют скорость изменения скалярной функции, взятую в направлении ее наибольшего возрастания. На рис. 399, б изображены отрезки двух весьма близко расположенных эквипотенциалей. [35]
Эта скорость будет зависеть от направления, вдоль которого взяты точки. В курсе математики пользуются понятием градиента скалярной функции. Под градиентом скалярной функции понимают скорость изменения скалярной функции, взятую в направлении ее наибольшего возрастания. [36]
Возникновение потоков связано с неоднородностью физической величины, то есть с ее неодинаковостью в разных точках пространства. Поток молекул обусловлен неодинаковостью их концентрации, поток теплоты - неодинаковостью температуры, поток импульса - неодинаковостью скорости упорядоченного движения частиц вещества. Для количественного описания неоднородности используется понятие градиента физической величины. [37]
Обратно, зная потенциал, можно определить поле. Для уточнения этой идеи вводится понятие градиента скалярной функции координат. [38]
Наконец, заметим еще, что терминология векторного анализа часто применяется и к так называемому пространству п измерений. Функцию от п независимых переменных рассматривают как скалярное поле, а систему п таких функций - как векторное поле в я-мерном пространстве. Понятие скалярного произведения, а также понятие градиента легко обобщаются на я-мерное пространство, но в других отношениях положение дел там значительно сложнее, чем в трехмерном пространстве. [39]
Согласно теореме 3.11 выпуклая функция имеет производные по всем направлениям во внутренних точках области определения. В то же время ее частные производные и, стало быть, градиент могут не существовать. Однако для выпуклой функции можно ввести понятия субградиента и субдифференциала ( множества субградиентов), заменяющие в широком круге вопросов понятие градиента и сводящиеся к нему, если функция дифференцируема. В частности, эти обобщения используются в теории негладких выпуклых задач минимизации, а также при построении численных методов их решения. [40]
Таким образом, VU формально может рассматриваться как произведение символического вектора V на скаляр U. Понятно, что можно говорить о градиенте не только функции U, но и любой скалярной функции координат. Понятие градиента широко применяется в самых разнообразных вопросах физики и математики. [41]
Если две величины связаны между собой, то изменение одной вызывает и изменение другой. Производной и называется предел отношения изменения Дг / зависимой величины к вызывающему его изменению независимой Ад: при стремлении последней к нулю. Поскольку это отношение может меняться от точки к точке, то ясно, что производная характеризует ситуацию в точке. Если независимых переменных несколько, то производная по одной переменной при постоянных других называется частной производной и обозначается ду / дх. С понятием частной производной тесно связано понятие градиента. Оба понятия могут быть иллюстрированы следующим примером. [42]