Cтраница 3
Главное место в творчестве Коши, по мнению Эрмита, занимает фундаментальная идея: распространить первоначальное понятие определенного интеграла, заставляя переменную переходить от одного предела к другому, пробегая через последовательность мнимых значений по произвольному пути. [31]
Рассмотрим аксиомы для натурального ряда чисел ( множество этих последних обозначим через N), пользуясь в качестве первоначальных понятий индивидуумом 0 и предикатом а Ь, или, в X-обозначениях ( § 10), aba Ь, и, возможно, другими первоначальными понятиями. [32]
При рассмотрении идеи упорядочения состояний термодинамической системы с помощью отношения адиабатической достижимости ( алгебраический подход) исходят из первоначальных понятий о состоянии и адиабатическом процессе. [33]
В известной степени это, конечно, осознавалось и раньше, и тем не менее до конца прошлого столетия перечень первоначальных понятий математических теорий не уточнялся, и в основаниях математики царила путаница. [34]
Всякая система объектов, удовлетворяющая аксиомам какой-либо аксиоматической теории ( в том смысле, что из аксиом должны получиться истинные предложения, если вместо первоначальных понятий подставить названия этих объектов, родов, отношений и операций), называется интерпретацией или моделью этой аксиоматической теории. Изучение моделей аксиоматической теории составляет предмет теории моделей; этой теории ( в применении к аксиоматической теории Пеан о, о которой мы скажем ниже) и посвящена статья Генкина. [35]
Можно считать, что первый кризис в математической науке связан с поразительным открытием, обнаружившим, что в некоторых достаточно простых случаях невозможно обойтись первоначальным понятием о числе, охватывающим целые и дробные числа. Возможно, Пифагор и не открыл первым теорему, названную его именем, но ему и его школе принадлежит та заслуга, что они первыми осознали этот кризис, а может быть, и указали путь к его преодолению. [36]
И так как кроме аксиом мы не можем пользоваться в доказательствах никакими другими недоказанными предложениями, то аксиомы содержат в себе все сведения о первоначальных понятиях, которые нам даны для построения аксиоматической теории. В этом смысле на аксиомы следует смотреть как на определения первоначальных понятий. [37]
Однако нельзя не заметить, что изучение глубин земли, совершенно необходимое при устройстве выгодной добычи некоторых ископаемых, имеет мало приложений в громадном большинстве промышленных производств, а потому будет и впредь, помимо первоначальных понятий, составлять предметы лишь специально горнопромышленного образования, не то, что познание механических и физических, даже химических сил, находящих приложение во всяких промышленных производствах. [38]
Рассмотрим аксиомы для натурального ряда чисел ( множество этих последних обозначим через N), пользуясь в качестве первоначальных понятий индивидуумом 0 и предикатом а Ь, или, в X-обозначениях ( § 10), aba Ь, и, возможно, другими первоначальными понятиями. [39]
Если гильбертовская аксиоматика направлена в историческое прошлое геометрии и преследует цель дать математически корректное обоснование геометрии в духе Евклида ( с выходами з неевклидову, неархимедову геометрию и др.); если, далее, аксиоматика, базирующаяся на свойствах движений ( Клейн, Шур и др.), отказывается от принятия конгруэнтности ( треугольников) в качестве первоначального понятия и использует для обоснования геометрии групповой подход, являющийся прогрессивным завоеванием математики XIX столетия, - и тем самым направлена на современные научные направления, то вейлевскую аксиоматику можно рассматривать как направленную в будущее. Более того, такой подход к аксиоматике позволяет устранить разрыв между школьной математикой, вузовской математикой и современной математической наукой. [40]
Точно так же один атом одного элемента может заместить в сложном веществе тоже только вполне определенное количество атомов другого элемента. Отсюда и возникло первоначальное понятие о валентности. [41]
Развитие идей от первоначальных понятий до теории относительности и квантов. В связи с работой над текстом Бесед об абстракции в физике я неоднократно обращался к этому источнику. Кроме познавательной пользы, каждый, кого интересуют проблемы научного описания Мира, получит огромное удовольствие от чтения Эволюции физики, так как он сумеет проникнуть в мир идей одного из величайших мыслителей. [42]
Таким путем, исходя из понятия производной, Ньютон пришел к понятию первообразной или неопределенного интеграла. Последний являлся для Ньютона первоначальным понятием при построении интегрального исчисления, в отличие от Лейбница, исходившего из понятия определенного интеграла. [43]
По существу идеи вейлевской аксиоматики очень близки к теме лекций Клейна. Точка, с которой начинает изложение Клейн, является первоначальным понятием и у Вейля. Свободный вектор, рассмотренный Клейном в качестве одного из простейших геометрических образов, является первоначальным понятием и у Вейля. Но если Клейн определяет точку тремя ее координатами и вводит вектор на основе грассманова принципа, то Вейль считает эти понятия неопределяемыми и лишь описывает в аксиомах их основные свойства. [44]
И так как кроме аксиом мы не можем пользоваться в доказательствах никакими другими недоказанными предложениями, то аксиомы содержат в себе все сведения о первоначальных понятиях, которые нам даны для построения аксиоматической теории. В этом смысле на аксиомы следует смотреть как на определения первоначальных понятий. [45]