Cтраница 2
Для того чтобы определить какое-либо понятие, нужно прежде всего указать, частным случаем какого более общего понятия оно является. Для понятия множества сделать это невозможно, потому что более общего понятия, чем множество, в математике нет. [16]
Начиная с понятия множества и набора интересных идей, которые были в нее введены, она изобрела идею счета, затем сложения, затем - умножения, затем, среди прочего, - понятие простых чисел... Она зашла так далеко, что повторила открытие гипотезы Гольдбаха. Разумеется, все эти открытия были уже сделаны сотни, а то и тысячи лет назад. Может быть, успех программы объясняется тем, что понятие интересного, которое Ленат вложил в машину, было закодировано в большом количестве правил, на которые, возможно, повлияло современное математическое образование самого Лената; тем не менее, этот успех впечатляет. [17]
В линейных нормированных пространствах, естественно, действуют все определения и теоремы, относящиеся к аффинным линейным пространствам ( без предположения о наличии метрики) и к метрическим ( без предположения о наличии линейной структуры) пространствам. Так, в линейном нормированном пространстве можно ввести понятия центрально-симметричного множества и выпуклого множества, относящиеся к теории линейных аффинных пространств. [18]
В школьном курсе геометрии к основным или начальным понятиям относятся точка, прямая, плоскость и расстояние. Эти понятия являются неопределяемыми, такими же, как и понятия множества, числа и величины в курсе алгебры. [19]
Как и во всякой молодой науке, в теории систем ведется интенсивная критическая работа по анализу основных положений и постулатов. Непросто даже дать такое определение понятию системы, чтобы четко отделить его от понятия множества. Споры вокруг определений хотя и важны, но носят несколько схоластический оттенок. [20]
Так возникло понятие натурального числа. Каждое натуральное число является характеристикой класса непустых равносильных конечных множеств. Последнее предложение показывает, что понятие натурального числа возникло из более широкого понятия - понятия множества. [21]
Однако то положительное, что пришло на место старого, оказывается, если обратиться к последним принципам, более неясным и уязвимым, чем это старое, так что можно не сомневаться: большая часть сделанного в рамках современных критически направленных исследований при окончательном уяснении основ анализа должна быть использована в качестве строительного материала по-новому. Великая задача, поставленная со времен открытия пифагорейцами иррациональных чисел, - а именно, чтобы данное нам непосредственно, наглядно ( в текущем времени и в движении) непрерывное представить математически, в том его содержании, которое формулируемо в точном знании, как совокупность дискретных стадий, - эта задача, несмотря на усилия Дедекинда, Кантора и Вейерштрасса и сегодня, как и в прежние времена, остается нерешенной. Системы более или менее произвольных постулатов не могут более помочь нам ( хотя они и позволяют экономить мышление, и оказываются плодотворными); мы вынуждены предпринимать попытки нащупать решение, основанное на проникновении в самую суть дела. Сейчас нам придется проследить на несколько шагов дальше те следствия для оснований анализа и учения о множествах, к которым приводят наши взгляды на понятия множества и функции. [22]
В заключение еще несколько слов о введении в математику идеальных элементов. Рассмотрим в качестве примера идеалы в теории алгебраических числовых полей. Определяются они следующим образом. Теорема Satz U: алгебраическое число а делится на идеал () - должна означать, что между а и существует определенное отношение R ( a, ), определять которое здесь более подробно нет необходимости. Идеалы обретают значение в своем свойстве быть делителями чисел, т.е. в применении к высказываниям типа приведенной выше теоремы U. Соответственно два идеала () и () рассматриваются как тождественные тогда и только тогда, когда каждое число, делящееся на (), делится и на (), и наоборот. Но ведь именно это мы сформулировли как единственно существенное для понятия множества, что составляет полную противоположность обычному представлению о множестве как о некоем представленном в сознании собрании всех его элементов. В соответствии с этим мы можем рассматривать идеал как множество М (), соответствующее свойству JR ( o, ), как это и делал Дедекинд. [23]
В книге в популярной форме излагаются начальные сведения из теории групп. Аппарат теории групп является основным при изучении явлений симметрии, лежащих в основе фундаментальных закономерностей современного естествознания. Именно поэтому теория групп нашла широкое применение не только в современной математике, но и в ядерной физике, кристаллографии, теории относительности, различных разделах химии. Имеются опыты применения теоретико-групповых методов анализа в теории музыки, литературоведении, теории живописи, архитектуре. Математическая глубина и необычайно широкая сфера применений теории групп сочетаются с простотой ее основных положений, вполне доступных при наличии хорошо иллюстрирующих примеров школьникам старших классов. Поэтому теория групп как нельзя лучше подходит для того, чтобы показать школьникам образец современной математической теории и проиллюстрировать на примерах, как абстрактные теоретико-групповые понятия применяются при решении конкретных задач из разделов математики, уже знакомых читателю. Изучение понятия группы будет в достаточной степени оправдано, только если его применения будут разнообразны и интересны. Это одна из причин того, что основные теоретико-групповые понятия и результаты в книге излагаются в рамках теории групп перестановок конечных множеств. При таком изложении читатель постоянно работает с отображениями конечных множеств, что позволяет лучше усвоить понятия множества и функции - центральные понятия в школьном курсе математики. [24]