Cтраница 1
Порядок любого элемента делит порядок группы. Группа простого порядка р всегда циклическая и с точностью до изоморфизма единственная. [1]
Порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка группы. [2]
Действительно, порядок любого элемента g Е G совпадает с порядком порожденной им циклической подгруппы ( g) [ ВА I, гл. Если, далее, G - р - простое число, а Н - неединичная подгруппа, то делимость р на Н означает, что Н р, откуда Н G. Все циклические группы данного порядка изоморфны [ ВА I, гл. Это дает право говорить об единственности. [3]
Если А - кольцо без нильмдеалов и порядок любого элемента из G не делится на порядок ни одного элемента из аддитивной группы А, то KG без нильидеалов. KG над нолем характеристики 0 полупроста в смысле Джекобсона радикала, если К содержит трансцендентный элемент над полем рациональных чисел. [4]
С имеет элемент, порядок которого делится на порядок любого элемента из С. [5]
Пусть С АВ, где а) А и В - периодические подгруппы группы С и б) порядок любого элемента из А взаимно прост с порядком любого элемента из В. [6]
Простые дивизоры 3, делящие 2), могут быть также охарактеризованы следующим свойством: порядок образующего автоморфизма группы инерции дивизора ф в К в / раз меньше, чем порядок любого элемента группы Галуа K ( yjt) / k, индуцирующего этот автоморфизм. При этом мы говорим об образующей группы инерции ф в K / k, так как эта группа циклическая, что следует из того, что ( /, J) 1 ввиду условия 1 в определении шольцева поля. [7]
Сл & довательно, cl 1, откуда а 1, &5 / - 1, Поэтому два пепере-становочных элемента группы Н имеют конечные порядки, элемент л: из Н перестановочен с а и Ь, то элемент ха не па рестановочен с Ь; поэтому ха. Таким образом, порядок любого элемента группы конечен. [8]
По теореме Лагранжа порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка группы. [9]
Нетрудно заметить, что это истинная эквивалентность. S ( p); следовательно, по теореме 15.2.1 мы получаем, что порядок любого элемента группы Е делит ре. Так как ( ре, т) 1, отсюда вытекает, что группа Ер и силовская р-подгруппа Е ( р) группы Е изоморфны факторгруппе EjEi и, следовательно, изоморфны друг другу. [10]
Это кольцо называется скрещенным произведением полугруппы G и кольца / С при системе факторов р и отображении а. Из полученных результатов отметим: 1) Если G - локально конечная группа, / С регулярно в смысле Неймана и каждый элемент из К можно однозначно делить на порядок любого элемента группы G, то кольцо ( G, / С, р, а) также регулярно; 2) Если G - группа, ( G, К, р, а) регулярно и р л 1 для всех g, / z G, то группа G локально конечна, а кольцо / С регулярно. Несколько утверждений доказано для случая, когда полугруппа G упорядочена справа. Чивин [89] рассматривал групповую алгебру локально бикомпактной абелевой группы над полем комплексных чисел. [11]
Совокупность g neZ степеней элемента g группы G является подгруппой в G. Подгруппа g конечна в том и только том случае, если g е для некоторого тг е N. По теореме Лагранжа порядок любого элемента конечной группы G делит порядок группы. Если для любого и е N имеем gn ф е, то все степени gn, п е Z, различны между собой. В этом случае подгруппу g называют бесконечной циклической и говорят, что g - элемент бесконечного порядка. Группа, в которой нет неединичных элементов конечных порядков, называется группой без кручения. Группа, в которой порядок любого элемента конечен, называется периодической. Пусть я - множество простых чисел, включающее все возможные простые делители порядков элементов периодической группы G, тогда G называется л-группой. Если л р, то G называется р-группой. [12]
Совокупность g jneZ степеней элемента g группы G является подгруппой в G. Подгруппа g конечна в том и только том случае, если gn е для некоторого пе N. По теореме Лагранжа порядок любого элемента конечной группы G делит порядок группы. [13]
А регулярные автоморфизмы и, следовательно, циклическая. Покажем, что порядок подгруппы Р прост. Действительно, так как Р изолирована в L и L при-марная, то в ней имеется подгруппа L0, содержащая подгруппу Р как максимальную. Из изолированности подгруппы Р в La следует, что порядок любого элемента подгруппы L0, не содержащегося в Р, прост и поэтому подгруппа L0 расщепляема. С другой стороны, легко установить, что р-группа нечетного порядка, содержащая циклическую максимальную подгруппу непростого порядка, не расщепляема. Следовательно, порядок подгруппы Р прост. [14]
Совокупность g neZ степеней элемента g группы G является подгруппой в G. Подгруппа g конечна в том и только том случае, если g е для некоторого тг е N. По теореме Лагранжа порядок любого элемента конечной группы G делит порядок группы. Если для любого и е N имеем gn ф е, то все степени gn, п е Z, различны между собой. В этом случае подгруппу g называют бесконечной циклической и говорят, что g - элемент бесконечного порядка. Группа, в которой нет неединичных элементов конечных порядков, называется группой без кручения. Группа, в которой порядок любого элемента конечен, называется периодической. Пусть я - множество простых чисел, включающее все возможные простые делители порядков элементов периодической группы G, тогда G называется л-группой. Если л р, то G называется р-группой. [15]