Cтраница 3
Интересно рассмотреть физический смысл случайных входных сигналов w ( -) в моделях Ж0 и Mit Случайная входная последовательность w ( i) в модели Ма может быть естественным образом объяснена выпадениями осадков, имеющими место в интервале [ t - I, i ], ибо известно, что временной ряд, образованный данными о годовых количествах осадков, можно адекватно описать последовательность независимых случайных величин. [31]
Рассмотрим последовательность независимых случайных величин ь с одинаковым распределением вероятностей. [32]
Статистический контроль технологического процесса с точки зрения вероятностной диагностики [1, 2] представляет задачу последовательного параметрического обнаружения нарушений в независимой случайной последовательности при неизвестном априорном распределении момента времени, в который произошло нарушение. Предполагается, что вариации параметров представляют собой последовательность независимых случайных величин [3]: при отлаженном процессе все условия производства, доступные контролю и управлению, поддерживаются постоянными; вариации параметров обусловлены множеством мелких, трудно устранимых причин. [33]
Если все неравенства в (9.1) заменить на равенства, то последовательность Ur называется мартингалом. Напомним также, что если k есть последовательность независимых случайных величин с Е ( k) О, то частные суммы 8Л образуют мартингал; более того, если существуют дисперсии, то последовательность Sn образует субмартингал. [34]
В классической теории вероятностей, имеющей дело в основном с последовательностями независимых случайных величин, теоремы типа законов больших чисел, типа центральной предельной теоремы и теоремы о больших уклонениях составляют большую часть всех исследований. В последние годы, когда основные интересы переместились на изучение случайных процессов, асимптотические исследования продолжают играть ведущую роль. Можно сказать, что в теории случайных процессов такие исследования играют еще большую роль, чем в классической теории вероятностей, потому что получение простых точных формул в задачах, связанных со сколько-нибудь широкими классами случайных процессов, по-видимому, невозможно. [35]
В первом подходе проверяется адекватность допущений, доложенных в основу модели. Во многих случаях единственное существенное допущение состоит в том, что возмущения - это последовательность независимых случайных величин с нулевым средним. Используя выбранную модель и доступные наблюдения, можно получить оценки возмущений, так называемые остатки, и проверить предположение о независимости с помощью обычной теории проверки гипотез, переформулировав задачу как выбор между двумя гипотезами Я0 и Яь Гипотеза Я0, называемая обычно нулевой, постулирует, что остатки имеют нулевое среднее и независимы. Авторегрессионная модель зависимости выбрана из соображений простоты вычислений. Вдобавок, остатки предполагаются нормально распределенными. [36]
Курс охватывает сравнительно широкий круг вопросов, начиная с оснований теории вероятностей и кончая простейшими вероятностными процессами. Сюда входят достаточно полный аппарат современной теории вероятностей; разного рода предельные законы для сумм последовательностей независимых случайных величин; теоремы 6 поведении траекторий, порожденных этими суммами, включая относящиеся сюда так называемые факториаационяые тождества; цепи Маркова и эргодические теоремы для них; элементы теории информации и их применения; теоремы об основных свойствах винеровских и пуассоновеких процессов. [37]
В статистике любая упорядоченная числовая последовательность, отличающаяся от случайной, рассматривается как имеющая тренд, так что изменения закономерной составляющей характеризуется ее трендом. Принятый вид аппроксимации какого-либо показателя будет считаться удовлетворительным, если последовательность отклонений вычисленных значений показателя от фактически полученных будет представлять собой последовательность независимых случайных величин. Надежность установления функциональной зависимости для закономерной составляющей может быть наглядно определена по характеру вариационной кривой плотности вероятности модулей отклонений вычисленных значений от фактически наблюденных. Увеличение надежности установления функциональной зависимости сопровождается сдвигом максимума кривой в сторону меньших значений отклонений, увеличением кривизны ветвей, ростом максимума кривой. [38]
Последовательности независимых случайных величин подробно изучаются в классической теории вероятности ( в первую очередь в связи с рассмотрением различных предельных теорем), но с точки зрения теории случайных функций они кажутся слишком уж специальным и простым примером. Однако многие важные типы случайных функций могут быть заданы соотношениями, сводящими недетерминированный характер величин X ( t) к их зависимости от некоторой последовательности независимых случайных величин. [39]
В практических приложениях теории вероятностей большую роль играют неограниченные случайные последовательности. Так, например, передаваемые по телеграфу сообщения представляют собой случайные последовательности букв и цифр. Однако для приложений недостаточно рассматривать только последовательности независимых случайных величин. В самом деле, легко понять, что вероятность появления той или иной буквы или цифры при передаче очередного знака телеграфного сообщения никак нельзя считать совершенно независимой от того, какие буквы или цифры предшествуют данной: например, вероятность появления буквы а после буквы п довольно велика, в то время как вероятность появления буквы а после буквы ы практически равна нулю. Во многих случаях оказывается возможным считать случайную последовательность простой целью Маркова. [40]
Не будем повторять метод получения остатков, так как он был объяснен в гл. Нужно проверить, можно ли рассматривать эту последовательность как последовательность независимых случайных величин с нулевым средним, имеющих нормальное распределение МО, р), где р неизвестно. Раньше мы убедились, что конкретные тесты можно применять только для выяснения, принадлежит ли конечный вектор параметров одному из классов, когда число классов конечно. Строго говоря, проверка элементов последовательности на независимость не имеет смысла до тех пор, пока не будут установлены альтернативные типы зависимости. [41]
Например, при измерении детали мы определяем ее истинный размер. Но в результате измерения неизбежно вкрадываются случайные ошибки, и потому результат измерения есть случайная величина. Повторяя несколько раз измерение данной детали, мы получаем последовательность независимых случайных величин. Дисперсии случайных величин при этом характеризуют точность проводимых измерений. Поскольку ни одно из измерений мы не выделяем как главное, то условия центральной предельной теоремы тоже соблюдены. [42]
Если же при таком предельном переходе функционал 1) [ ф ] не стремится к конечному пределу, то это означает, что для С. X ( t) упрощается в тех случаях, когда все они однозначно определяются распределениями лишь немногих низших порядков. X ( t), являются последовательности независимых случайных величин ( представляющие собой специальные С. [43]