Cтраница 2
Функция распределения, предельная ( в смысле сходимости в основном) для последовательности безгранично-делимых функций распределения, сама является безгранично-делимой. [16]
Посмотрим теперь, что можно сказать о сходимости таких интегралов, когда последовательность функций распределения Fn слабо сходится. [17]
Функция распределения, предельная ( в смысле сходимости в основном) для последовательности безгранично делимых функций распределения, сама является безгранично делимой. [18]
Говорят, что последовательность типов Тп сходится к тину Т, если существует последовательность функции распределения Fn. Топологизн-ровашюе таким образом множество типов есть хауе-дорфопо нерегулярное пространство и, следовательно, неметрпзуемо ( В. [19]
Это свойство важно тем, что во многих случаях предельный переход в последовательности характеристических функций осуществляется проще, чем в последовательности функций распределения. Поэтому доказательство предельных теорем с помощью характеристических функций оказывается в этих случаях более коротким и простым. [20]
Естественно ожидать, что существует также взаимно-однозначное соответствие между слабой и полной сходимостями последовательностей функций распределения, с одной стороны, и некоторыми типами сходимости ( которые будут определены ниже) хар. Введем соответствующий F интеграл от хар. [21]
Если Р ( х) - последовательность функций распределения с конечными моментами aii ( n) любого порядка k l, функция распределения F ( х) однозначно определяется своими моментами Р и a / An) - РА при п - - оо и каждом k, то Р ( х) - - - - F ( х) при п - оо в каждой точке х, где F ( х) непрерывна. [22]
Эта теорема очень важна для приложений, так как она дает критерий, который часто позволяет решить, сходится ли данная последовательность распределений к распределению или нет. В параграфе 6.7 мы видели, что последовательность распределений сходится к распределению тогда и только тогда, когда соответствующая последовательность функций распределения сходится к функции распределения. Однако в приложениях иногда бывает очень трудно прямо обнаружить сходимость последовательности функций распределения, в то время как вопрос о сходимости соответствующей последовательности характеристических функций может быть - решен сравнительно легко. [23]
Отметим сначала аналог классической теоремы Пойа о том, что слабая сходимость последовательности функций распределения к непрерывной функции распределения автоматически оказывается равномерной. Пусть Р - вероятностная мера в Rs такая, что каждое выпуклое подмножество Rs имеет Р - нулевую границу. [24]
Таким образом, возникает задача изучения закономерностей, свойственных суммам большого числа независимых случайных величин, каждая из которых оказывает лишь малое влияние на сумму. Этому последнему требованию мы придадим позднее более точный смысл. Вместо того чтобы изучать суммы очень большого, но конечного числа слагаемых, мы будем рассматривать последовательность сумм со все большими большим числом слагаемых и считать, что решения интересующих нас задач даются предельными функциями распределения для последовательности функций распределения сумм. Такого рода переход от конечной постановки задачи к предельной является обычным как для современной математики, так и для многих отделов естествознания. [25]
Таким образом, возникает задача изучения закономерностей, свойственных суммам большого числа независимых случайных величин, каждая из которых оказывает лишь малое влияние на сумму. Этому последнему требованию мы придадим позднее более точный смысл. Вместо того чтобы изучать суммы очень большого, но конечного числа слагаемых, мы будем рассматривать последовательность сумм со все большим и большим числом слагаемых и считать, что решения интересующих нас задач даются предельными функциями распределения для последовательности функций распределения сумм. Такого рода переход от конечной постановки задачи к предельной является обычным как для современной математики, так и для многих отделов естествознания. [26]
Всегда имеем 0 / 1, но, соответственно сказанному выше, F не обязательно представляет собой функцию распределения. Далее, имеет место следующее обобщение предложения, доказанного в параграфе 6.8 для одномерного случая. Каждая последовательность функций распределения содержит сходящуюся подпоследовательность. Это может быть доказано непосредственным обобщением доказательства параграфа 6.8, которое мы здесь проводить не будем. [27]