Cтраница 2
Мы здесь несколько отошли от первоначального определения потока, согласно которому закон потока должен иметь дело с последовательностями натуральных чисел. Это обобщение, очевидно, не является существенным, поскольку с помощью нумерации целых чисел рассмотрение таких более общих потоков естественным образом сводится к рассмотрению потоков в первоначальном смысле. [16]
Островский [6] показал еще, что критерий (1.7.8) остается в силе, когда п пробегает подпоследовательность [ nk всей последовательности натуральных чисел, имеющую положительную плотность. [17]
Как легко видеть, тем самым устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех последовательностей действительных чисел и множеством всех последовательностей натуральных чисел. Значит, в силу результата задачи 80, рассматриваемое множество имеет мощность континуума. [18]
По определению порядка ( сначала сравниваются вторые члены) г / о j - S У S yi и потому последовательность натуральных чисел yi с какого-то места не меняется. После этого уже Х должны убывать - и тоже стабилизируются. [19]
Итак, мы имеем процесс, который для каждого натурального числа у определяет соответствующее число р ( у), исходя из порождения у в последовательности натуральных чисел. [20]
Общие самодовлеющие суждения математики трактуют частью о всем целом ( Allheit) натуральных чисел, частью же о всем целом становящихся посредством свободных актов выбора последовательностей натуральных чисел. Они, значит, относятся частью к простирающейся в бесконечность возможности безграничного, определяемого законом алеф, продолжения процесса развертывания натуральных чисел, а частью к заключенной в становящейся числовой последовательности бесконечной свободе вечно новых ничем не связанных актов выбора, которые на каждом шагу обрывают на произвольном месте все вновь и вновь начинающийся процесс развития натурального числового ряда. По самому существу дела интуиция сущности ( Wesenseinsicht), из которой проистекают все общие суждения, опирается всегда на так называемую полную индукцию. Но сами эти законы мы не делаем объектами общих высказываний. Там, где говорится каждая последовательность, понятие закона ( functio discreta) заменяется понятием становящейся свободной последовательности; напротив, для functiones mixtae и continuae у нас не имеется в распоряжении такого континуума, в который они укладывались бы подобно тому, как укладываются отдельные functiones discretae в континуум вольно становящихся свободных последовательностей. Все это предопределено a priori сущностью npflfcjecca порождения алеф математической первоинтуиции. [21]
Сортировка стала возможной благодаря тому, что значения исходных данных 6, 3, 5, 7, 2, 4, 1 заполняют сплошной интервал последовательности натуральных чисел. [22]
В общих чертах методика преобразования дискретной информации в последовательность дискретных электрических сигналов состоит в выполнении ряда характерных этапов, основными из которых являются: выражение дискретной информации в числовой форме; кодирование цифровой информации в форме, позволяющей осуществить автоматическое считывание последовательности натуральных чисел; запись кодированных цифровых данных и автоматическое считывание кодированных цифровых данных. [23]
Конечно, ваш крайний финитизм дает максимальные гарантии против опасности непонимания, но, по нашему мнению, он влечет за собою такое отрицание понимания, которое трудно принять. Дети в начальной школе уже понимают, что такое натуральные числа и принимают факт, что последовательность натуральных чисел может быть бесконечно продолжена. [24]
А) точностью, был задан определенно и один из интервалов Л - той ступени, в котором заключается с необходимостью наше число. Так как каждый из - двоичных интервалов может быть характеризован двумя целочисленными знаками ( т и А в приведенном выше обозначении) и так как факт содержания одного интервала в другом выражается простым отношением между этими их знаками, то рассмотрение вместо последовательностей содержащихся одни в других двоичных интервалов, не подчиненных никаким ограничениям последовательностей натуральных чисел, явится весьма несущественным упрощением наших рассуждений. [25]
Этот способ основан на свойстве иррациональных чисел образовывать неупорядоченную последовательность цифр дробной части при вычислении иррационального числа с достаточно высокой степенью точности. В наиболее простой форме данный способ реализуется при расчете дробной части произведения иррационального числа z на последовательность натуральных чисел. [26]
Может показаться, что требование конечности алфавита не позволяет рассматривать нормальные алгорифмы как адекватное отображение понятия алгоритма в математике. Однако это не является существенным ограничением. Дело в том, что если некоторый алгоритм S3 действует на множестве М, то элементы множества М и элементы S3 ( т) должны задаваться эффективно, следовательно, элементы М и Э ( т) имеют конечное число целочисленных инвариантов, причем вычисление этих инвариантов и восстановление по ним объекта можно осуществить с помощью некоторых алгоритмов кодирования и декодирования. Таким образом, достаточно ограничиться алгоритмами, действующими на последовательностях натуральных чисел и выдающих в качестве значений также последовательности натуральных чисел. [27]
Может показаться, что требование конечности алфавита не позволяет рассматривать нормальные алгорифмы как адекватное отображение понятия алгоритма в математике. Однако это не является существенным ограничением. Дело в том, что если некоторый алгоритм S3 действует на множестве М, то элементы множества М и элементы S3 ( т) должны задаваться эффективно, следовательно, элементы М и Э ( т) имеют конечное число целочисленных инвариантов, причем вычисление этих инвариантов и восстановление по ним объекта можно осуществить с помощью некоторых алгоритмов кодирования и декодирования. Таким образом, достаточно ограничиться алгоритмами, действующими на последовательностях натуральных чисел и выдающих в качестве значений также последовательности натуральных чисел. [28]
Из этой цитаты видно, что Дедекинд полагал, что если при рассмотрении просто бесконечной системы отвлечься от природы элементов и считать их только упорядоченными условиями a, J3, Т, § т то получатся те самые добропорядочные числа, которые известны из обычной арифметики, и тем самым будет решена поставленная им задача теоретико-множественного обоснования этой науки. В [3] он умолчал ( или тогда еще не знал этого), что его может обеспокоить вопрос о существовании и единственности множества натуральных чисел, удовлетворяющих обычным теперь аксиомам, но это его беспокойство отчетливо проявилось несколько лет спустя, хотя оно опять-таки не нашло никакого отражения ни в последующих переизданиях рассматриваемой книги, ни в других работах Дедекинда, а осталось лишь в его эпистолярном наследии. Но такая система S есть, очевидно, нечто совершенно отличное от нашей числовой последовательности N, и я мог бы выбрать эту систему так, чтобы для нее вряд ли сохранилась хотя бы одна арифметическая теорема. Если кто-либо допускает знание последовательности N натуральных чисел с самого начала и соответственно позволяет пользоваться арифметической терминологией, то он, конечно, волен делать это. [29]
Кантор не формулировал специально определений понятий конечного и бесконечного множеств. Напротив, Дедекинд явно определил соответствующие понятия ( с. Здесь целесообразно привести определение индуктивного конечного множества. Френкель и Бар-Хиллел вводят его так: Множество s будет называться индуктивным, если оно либо пусто, либо существует такое целое положительное число ге, что s содержит в точности п членов [ 1, с. Следовательно, это определение строится относительно заданной, имеющейся налицо последовательности натуральных чисел с ее арифметическими свойствами. На этой позиции долго стоял и Кантор. [30]