Cтраница 2
ПОЛНОЕ ПРОСТРАНСТВО - метрическое пространство, в котором сходится любая фундаментальная последовательность. Понятие полноты обобщается и на те неметрич. [16]
Нормированное пространство X называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится к некоторому элементу X. Полные нормированные пространства называются банаховыми пространствами. [17]
Нормированное пространство X называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится к некоторому элементу X. Полные нормированные пространства называются банаховыми пространствами В дальнейшем все изложение будем вести для банаховых пространств. [18]
Определение 13.33. Линейное пространство с нормой (13.11) называется полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится к некоторому элементу этого пространства. [19]
Говорят, что унитарное ( нормированное, метрическое) пространство полное, если любая фундаментальная последовательность его точек сходится к точке этого пространства. [20]
Множество действительных чисел называется полным в силу того, что для него выполняется свойство 4), заключающееся в том, что любая фундаментальная последовательность чисел сходится к некоторому действительному числу. [21]
Каждую обобщенную функцию, заданную на открытом множестве О, можно, если это необходимо, рассматривать как обобщенную функцию на любом открытом подмножестве О, поскольку функции из любой фундаментальной последовательности, представляющей / ( ж), можно рассматривать как функции на этом подмножестве. [22]
Для множества всех вещественных чисел справедливо и обратное утверждение. Именно, любая фундаментальная последовательность является сходящейся. Однако в общем случае это уже не верно, что подтверждается примером метрического пространства, из которого исключена хотя бы одна предельная точка. [23]
Обратное утверждение, вообще говоря, не верно. Метрическое пространство, в котором сходится любая фундаментальная последовательность, называется полным. [24]
Последовательность векторов х С czli называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию для всех е 0 существует N / V ( е) такое, что для любых щ, пг N ( в) выполняется неравенство xni Xn. Пространство It называется полным, если любая фундаментальная последовательность векторов этого пространства имеет предел Хц. Полное линейное векторное пространство со скалярнь пройзв дением называется пространством Гильберта и обозначается буквой Я. [25]
X-ограниченное множество; тогда BQ-также ограниченное множество и, следовательно, ABQ предкомпактно; таким образом, оператор АВ вполне непрерывен. С другой стороны, оператор В переводит любую фундаментальную последовательность снова в фундаментальную, и поэтому предкомпактное множество AQ переводит в предкомпактное множество; поэтому и оператор ВА вполне непрерывен. [26]
III, что всякая числовая сходящаяся после-довательность является фундаментальной и, наоборот, любая фундаментальная последовательность является сходящейся. [27]
Если последовательность имеет предел, то она фундаментальна. В произвольном метрическом пространстве фундаментальная последовательность может не иметь предела. Если в метрическом пространстве X любая фундаментальная последовательность сходится, то говорят, что пространство X полное. [28]
Теперь возникает вопрос: зачем нужны фундаментальные последовательности, дедекиндовы сечения, системы вложенных интервалов, если можно, и к тому же проще, во всяком случае наивнее, обойтись десятичными дробями. Бесконечные десятичные дроби являются вообще частным случаем фундаментальных последовательностей: если обрывать бесконечную десятичную дробь на р-х местах, то получится последовательность ар такая, что ат - ап е, коль скоро т, п N ( е), причем можно попросту выбрать N ( е) достаточно большим, чтобы выполнялось 1СН Е е; эта последовательность сходится к а. Эти частные фундаментальные последовательности вполне достаточны. Из их сходимости вытекает сходимость любых фундаментальных последовательностей. [29]