Cтраница 2
На этом мы заканчиваем наше изложение. Мы видели, что построение анализа на наших принципах вполне возможно, и осуществили его первые стадии так далеко, как нам казалось необходимым для того, чтобы во всей полноте охватить проблему Пифагора. Если нас упрекнут в том, что логические принципы, которые нам пришлось привлечь для точного определения понятия действительного числа, не содержатся в наглядном представлении о континууме, то мы ответим: то, что мы обнаруживаем в наглядном континууме, и мир математических понятий друг другу чужды, и требование их полного совпадения должно быть отвергнуто как абсурдное. Тем не менее те абстрактные схемы, которые доставляет нам математика, необходимо, чтобы сделать возможной точную науку о таких предметных областях, в которых играют свою роль континуумы. [16]
Это свойство используется при построении анализа размерностей. [17]
В настоящее время более распространен иной подход к построению анализа случайных функций, принятый и в настоящей книге ( гл. [18]
Для нас представляют интерес те из этих выводов, которые имеют наибольшее применение в построении математического анализа. Несколько таких теорем мы установим в настоящем параграфе; мы называем их основными леммами, так как каждая из них в сущности имеет своим содержанием какую-либо из наиболее часто встречающихся схем применения свойств континуума к построению анализа. Твердое усвоение этих вспомогательных предложений, на которые мы в дальнейшем часто будем ссылаться, позволяет поэтому значительно упростить и сократить многое в последующем изложении. [19]
О преподавании исчисления бесконечно малых в школе. Если в заключение мы окинем быстрым взглядом отношение школьного преподавания к исчислению бесконечно малых, то увидим, что на первом отразился весь ход развития последнего. Всюду, где в прежнее время занимались в школе анализом бесконечно малых, мы видим - судя, по крайней мере, по учебникам, а иначе и нельзя судить о деле преподавания - полное отсутствие ясного представления о точном научном построении анализа бесконечно малых при помощи метода пределов; этот метод выступал лишь в более или менее расплывчатом виде; на первом плане стояли операции с бесконечно малыми величинами, а подчас и исчисление производных, как его понимает Лагранж. Разумеется, такое преподавание было лишено не только строгости, но и доступности, и нет ничего удивительного в том, что постепенно стало распространяться весьма резкое отрицательное отношение к преподаванию анализа в школе. [20]
Отношение Вейля к формулам, содержащим кванторы по предикатам, не вполне однозначно. В 1918 г., когда был издан Континуум, Вейль еще не перешел на позиции интуиционизма Брауэра, предусматривающие существенное изменение традиционной, классической логики. Однако уже здесь Вейль считает, что ее законы безоговорочно применимы лишь к утверждениям об основных категориях, таких, как натуральные числа. Тем не менее при построении анализа он использует утверждения, содержащие такие кванторы. [21]
Ньютон открыл взамно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования. Он указывал, что все задачи нового анализа сводятся к двум взамно обратным проблемам, которые могут быть сформулироаны в терминах механики: 1) определение скорости движения в данный момент времени по известному пути и 2) определение пройденного за данное время пути по известной скорости движения. Время при этом понималось просто как общий аргумент всех переменных. Вводит он и понятие дифференциала, которое называет моментом. Ньютон намечает программу построения анализа на основе учения о пределе, не давая впрочем формального определения этого понятия, получившего глубокое развитие в математике XIX века. [22]
Реакция против предельных переходов и беско нечно малых; исчисление производных Лагранжа. Теперь я должен упомянуть еще о той реакции, которую вызвало такое обоснование анализа на понятии бесконечно малых величин. В этих представлениях очень скоро почувствовали что-то мистическое, недоказуемое; в результате нередко возникало даже предубеждение, будто дифференциальное исчисление является особой философской системой, которую нельзя обосновать, но в которую можно только верить, или даже прямо-таки, выражаясь грубо, подвохом, плутовством. Наиболее резким критиком в этом смысле является философ Беркли, который в небольшой книжке под заглавием Аналист в забавной форме вышучивает неясности, царившие в то время в математике. При этом Беркли исходит из той мысли, что по отношению к принципам и методам математики критика должна предоставить себе такую же свободу, какую математики применяют в свою очередь к тайнам религии, и затем самым ожесточенным образом нападает на все методы нового анализа - как на исчисление флюксий, так и на оперирование с дифференциалами; в результате он приходит к тому выводу, что все построение анализа неясно и совершенно непонятно. [23]