Cтраница 1
Построение математики может быть признано в нашу эпоху удовлетворительным, лишь если оно выявляет единство этой науки; в математике имеется неразрывность метода, несмотря на разнообразие рассматриваемых структур, начиная с понятий целых чисел и дробей, точек и прямых и так до понятий наиболее сложных. [1]
Иногда, при формалистском построении математики ( см. предыдущее примечание) или, уже, при изучении отдельных математических теорий в виде формальных систем ( невозможно бегло, в несколько слов, объяснить, что такое формальная система; желающие могут попробовать познакомиться с этим понятием по введению к книге А. Черча [ 211, где оно называется логистическая система) понятие переменной можно определить заранее, раз навсегда, независимо от конкретных рассматриваемых выражений. [2]
Известные трудности, ощущавшиеся в основаниях математики после открытия дифференциального и интегрального исчислений, казалось, были преодолены путем построения математики на основе теории множеств Кантора. Исторически это обстоятельство заставило обратиться к изучению аксио-матнч. [3]
Одним из инвариантных свойств порядкового числа является инвариантность при взаимно однозначном отображении; свое значение она обретает лишь под влиянием анализа в теоретико-множественном построении математики. Именно это и есть единственное инвариантное свойство порядкового числа, которое можно сформулировать в самой математике. Факт инвариантности при взаимно однозначном отображении - единственное, что можно сформулировать внутри математики. Верить, что это как раз и есть критерий того, что ребенок усвоил понятие числа, - заблуждение. Едва ли можно сомневаться, что упор на применение количественного аспекта Исходит от Пиаже. [4]
В известных учебниках подчеркивается, что N должно быть множеством; иногда это формулируется как аксиома. Однако для построения математики этого никак не достаточно. Нужно еще знать, что каждая счетная последовательность аа образует множество. [5]
Одной из наиболее традиционных для математики идеализации является абстракция актуальной бесконечности, ведущая к идее актуальной бесконечности. Эта абстракция лежит в основе теоретико-множественного построения математики. Другая традиционная идеализация - абстракция потенциальной осуществимости - приводит к идее потенциальной бесконечности. Эта абстракция, в сочетании с отказом от применения абстракции актуальной бесконечности, лежит в основе конструктивного построения математики. [6]
Было бы прекрасно, если бы нам удалось так построить всю математику, чтобы существование стало в ней столь же естественным и очевидным фактом, как и в окружающем нас мире. Весь вопрос в том, возможно ли осуществить такое построение математики и, в частности, вариационного исчисления. [7]
Мы считаем, что сейчас еще рано судить о значимости и даже о применимости к реальному миру тех моделей, которые недавно появились, например, в квантовых полевых теориях. История теории струн ( которая, по нашему мнению, привела к построению очень красивой математики, ио на сегодняшний день не сумела доказать свою причастность к реальной действительности) показывает, что словосочетание приложения к физике как характеристику современных работ ( даже таких выдающихся ученых, как Атья и Виттен) не следует понимать слишком буквально. [8]
Ныне считается само собой разумеющимся ( без особых доказательств), что теория множеств лежит в основе всей математики. Допустим, что это так; допустим, что именно так должно начинаться построение математики. Даже и тогда неверно, что так может строиться обучение математике. Если математика должна служить чему-то, то школьнику следует изучать алгебру и анализ. Теория множеств может помочь при этом, помочь существенно - и с этой точки зрения ее следует использовать для улучшения обучения математике. II классе и затем до IX или до X полностью забывается. Еще в Дубровникском проекте математику поделили на изолированные друг от друга области - одной из них оказалась теория множеств, которая нигде не применяется. Этот подход в использовании теории множеств был подвергнут резкой критике. Однако еще несколько лет назад появилась Современная алгебра для школьников, написанная одним - именитым математиком; первая ее половина содержала новейшую ( хотя и небезупречную) теорию множеств и абстрактную алгебру, в то время как вторая - несколько архаичную аналитическую геометрию в векторном изложении, вне всякой связи с современной первой половиной книги. [9]
По-иному понятие множества трактуется при конструктивистском ( там оно является определяемым понятием) и формалистском построении математики ( см. примечание2) к § 2 гл. [10]
В связи с этим естественны те ограничения, которые возникают при использовании для описания биологических систем аппарата стандартной математики, обычной в теоретической физике и химической кинетике. Подходы, которые положительно зарекомендовали себя в таких дисциплинах, как физика и химия, оказались не такими эффективными при описании сложных биологических явлений. Высказывается мнение, что для математической биологии потребуется построение новой математики. [11]
Некоторые исследователи творчества Вронского попытались более доходчиво изложить его основные математические идеи. Первое такое изложение было сделано при жизни Вронского братом его жены - Александром С. В этой статье речь идет об основных философских принципах построения математики с точки зрения трех первичных алгоритмов Вронского. [12]
Некоторые формалисты указывают, что методы интуиционистской элементарной арифметики выходят за пределы того, что они считают финитным ( см. Гильберт и Бернайс [ 1934, стр. Утверждается, что в интуиционистском употреблении отрицания сложных формул и импликаций, у которых в антецеденте стоит сложная формула ( например, формула всеобщности или другая импликация), содержится общее логическое понятие интуиционистского доказательства. Именно благодаря такому употреблению отрицания и импликации Брауэр и его последователи сумели пойти в построении конструктивистской математики дальше, чем предшественник Брауэра Кронекер. [13]
Если только историческое событие, состоящее в том, что кочму-то удалось построить ( натуральное) число п с данным свойством Р, может дать право утверждать, что существует число с этим свойством, то альтернатива: или существует такое число, или все числа обладают противоположным свойством не - Р - не имеет под собой основания. Так как кванторы существует и все при обра - зовании математических утверждений нагромождаются друг на друга самыми разнообразными способами, брауэрова критика делает - почти все эти предложения бессмысленными, и. Брауэр - принялся за построение новой математики / которая не использует этого логического принципа. Я думаю, что критику Брауэра должен принять каждый, кто хочет придерживаться веры в то, что математические утверждения со держат нечто абсолютно достоверное-истину, основанную на очевидности. Оппонент Брауэра Гильберт во всяком случае молчаливо принял ее. Он пытался спасти классическую математику, превратив ее из системы осмысленных предложений в игру лишенных смысла формул и показав, что эта игра никогда не ведет к двум формулам1 F и не - / 7, которые несовместимы. [14]
АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ Были предложены построения теории множеств, в которых понятие множества связано лишь такими ограничениями, исключающими образование слишком обширных множеств, какие необходимы для предупреждения известных антиномий. Ввиду того, что свободное пользование нашими понятиями при построении множеств согласно канторовскому определению приводит к крушению, употребление теоретико-множественных понятий регулируется аксиомами вроде тех, которым подчиняются точка и прямая в эвклидовой планиметрии. Френкель [1922, 1925], Сколем [1922-23, 1929], Нейман [1925, 1928], Бернайс [1937-54] и другие улучшили аксиоматическое рассмотрение множеств. На базе аксиоматической теории множеств можно обосновать анализ, и эта база является, пожалуй, простейшей базой, предложенной для построения существующей математики с тех пор, как были обнаружены парадоксы. [15]