Cтраница 2
В настоящей главе приводятся краткие сведения по фундаментальным вопросам теории разностных схем, которые существенно использованы в последующих главах книги. Поскольку нашей основной задачей является знакомство с некоторыми современными принципами построения вычислительных алгоритмов для решения задач математической физики, то при рассмотрении вопросов теории мы ограничимся только наиболее простыми случаями. [16]
Книга рассчитана на читателя, который занимается не столько разработкой численных методов, сколько их применением к прикладным проблемам. Однако в процессе работы над книгой читатель знакомится с основными идеями построения вычислительных алгоритмов и с их обоснованием и приобретает знания, достаточные для разработки новых алгоритмов. Эта книга является по существу введением в численные методы. Овладев ею, читатель затем может углубить свои знания, обратившись к руководствам по теории разностных схем и по методам численного решения отдельных классов задач. [17]
Хотя литература по итерационным методам весьма обширна и содержит описание многих эффективных алгоритмов, тем не менее в настоящей книге мы, наряду с рассмотрением классических процессов, основное внимание уделили итерационным методам, оптимизируемым с помощью квадратичных функционалов. В этом состоит выражение нашего общего подхода к вопросам оптимизации как при построении вычислительных алгоритмов, так и при их реализации. [18]
Проблеме беспоискового решения задач оптимизации посвящена большая литература. Это направление имеет ярко выраженный математический характер, так как математическая модель объекта предполагается известной и задача оптимизации сводится к задаче построения вычислительного алгоритма решения соответствующей вариационной задачи. В свою очередь среди итерационных методов выделяются градиентные методы, которые реализуют аналитически известный градиентный метод оптимизации. Именно эти методы и образуют основу для создания беспоисковых систем экстремального управления. [19]
В заключение, основываясь на материале данной главы, выделим ряд тем, являющихся ключевыми для развития и применения методологии математического моделирования. К ним относятся: вопросы идеализации исходного объекта и формулировка соответствующих предположений; применение как строгих процедур ( фундаментальные законы, вариационные принципы), так и метода аналогий и других подходов к построению математических моделей ( в том числе и трудноформализуемых); методы качественного исследования нелинейных моделей; построение эффективных вычислительных алгоритмов, реализующих модели. Эти вопросы, наряду с описанием некоторых актуальных приложений, составляют основное содержание последующих глав. [20]
Материал, изложенный в гл. Здесь рассмотрен метод интегральных уравнений в задачах дифракции. Основное внимание уделено вопросам сведения задач дифракции к линейным интегральным уравнениям первого и второго рода типа Фредгольма, на основе, которых развиваются метод построения вычислительных алгоритмов и их обоснование. К методу интегральных уравнений близко примыкает подробно изложенный метод неортогональных рядов. [21]
Следующая тенденция связана с переходом от решения отдельных задач к решению классов задач и стандартизации алгоритмов. Большой поток информации, перерабатываемой ЭВМ, требует систематизации и упорядочения. Ценный опыт, накопленный в процессе решения задач науки и техники, позволяет во многих случаях ориентироваться на создание универсальных методов решения задач, способных обслужить более или менее широкие классы математически однотипных проблем. По-видимому, рациональной стратегией в этом направлении является построение универсальных вычислительных алгоритмов, самонастраивающихся за счет использования апостериорной информации на оптимальный режим, для решения разнообразных и не часто повторяющихся задач и тщательная отработка специальных алгоритмов для многократно повторяющихся задач. [22]
Следующая тенденция связана с переходом от решения отдельных задач к решению классов задач и стандартизации алгоритмов. Большой поток информации, перерабатываемой ЭВМ, требует систематизации и упорядочения. Ценный опыт, накопленный в процессе решения задач науки и техники, позволяет во многих случаях ориентироваться на создание универсальных методов решения задач, способных обслужить более или менее широкие классы математически однотипных проблем. По-видимому, рациональной стратегией в этом направлении является построение универсальных вычислительных алгоритмов, самонастраивающихся за счет использования апостериорной информации на оптимальный режим, для решения разнообразных и не часто повторяющихся задач и тщательная отработка специальных алгоритмов для многократно повторяющихся задач. Эти два подхода взаимно дополняют друг друга и создают основу для экономичного использования ресурсов общества в создании эффективной системы математического обеспечения. [23]
Следующим этапом работы является построение хотя бы одного, хотя бы какого-нибудь алгоритма. И вот здесь мы должны использовать опыт построения алгоритмов, накопленный человечеством. Этот опыт довольно значителен. Есть целая математическая дисциплина, называемая вычис лительной математикой, предметом которой является построение различных алгоритмов для решения различных задач. Эта наука охватывает широкий круг вопросов, связанных с построением вычислительных алгоритмов. [24]
Это важно при решении стационарных задач и особенно при решении задач нестационарных, проблема граничных условий в которых требует тщательного анализа. Именно поэтому в главе 5 мы отказались от расщепления нестационарных задач на простейшие в дифференциальной формулировке, поскольку это потребовало бы дополнительных исследований постановки граничных условий, согласованных с расщепленной системой. Более просто, с нашей точки зрения, исходной задаче математической физики поставить в соответствие систему разностных уравнений по пространственным переменным и из этой системы исключить граничные значения функций, используя разностные аналоги краевых условий задачи, согласованных по точности с самим разностным уравнением. Этот прием позволяет избежать согласования граничных условий на каждом этапе построения вычислительного алгоритма с помощью схем расщепления. [25]
Это важно при решении стационарных задач и особенно при решении задач нестационарных, проблема граничных условий в которых требует тщательного анализа. Более просто, с нашей точки зрения, поставить в соответствие исходной задаче математической физики систему разностных уравнений по пространственным переменным и из этой системы исключить граничные значения функций, используя разностные аналоги краевых условий задачи, согласованных по точности с самим разностным уравнением. Этот прием позволяет избежать согласования граничных условий на каждом этапе построения вычислительного алгоритма с помощью схем расщепления. [26]