Cтраница 1
Пятый постулат Евклида не совпадает дословно с указанной выше аксиомой параллельности, но представляет собой предложение, эквивалентное ей. Об этом евклидовом постулате Клейн говорит на с. [1]
Он показал возможность построения непротиворечивой геометрии, в которой не выполняется пятый постулат Евклида, положив тем самым начало ряду последовавших затем работ по неевклидовым геометриям. При этом он также выдвинул идею о том, что геометрия реального мира, возможно, и не является евклидовой. [2]
Примечательно, что Фаркаш Бояи также много сил потратил на попытки доказательства пятого постулата Евклида. Он отчаялся в своих попытках, и сыну, Яношу, тоже пытался отсоветовать заниматься этий проблемой. Эта черная пропасть в состоянии, быть может, поглотить ТЫСЯЧУ таких титчног, как Ньютон, на Земле это никогда не прояснится... Письмо это написано в 1820 г. - в начале десятилетия когл. Лобачевский и Я Бояи пришли к своему открытию и опубликовали свои исследования. [3]
В геометрии подобная кризисная ситуация возникла в свое время в связи с так называемым пятым постулатом Евклида. [4]
В традиционном понимании неевклидова геометрия - это геометрия, формулируемая в точности так же, как геометрия Евклида, но за одним исключением: пятый постулат Евклида ( постулат о параллельных) в этой геометрии отрицается. Формулировка пятого постулата такова: Если две прямые пересекаются третьей прямой таким образом, что сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых углов, то эти прямые, если их продолжить, пересекаются и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых углов. [5]
Лежандр, так же как Гаусс, Лобачевский и Бояи, беспрестанно занимался теорией параллельных, но в отличие от них не пришел к дерзкой мысли о возможности построения непротиворечивой геометрии, основанной на отрицании аксиомы параллельности, а до конца жизни не оставлял попыток найти доказательство пятого постулата Евклида. В каждом почти издании своих начал геометрии Лежандр помещал новое доказательство евклидова постулата, но внимательный анализ показывал, что оно опиралось на совершенно очевидное, явно не высказанное предположение, которое эквивалентно пятому постулату. [6]
Мы можем считать пятый постулат Евклида ( через данную точку проходит не более одной прямой, параллельной данной) истинным. Тогда получится геометрия, называемая евклидовой. А можно принять в качестве аксиомы противоположное утверждение: через некоторую точку можно провести две различные прямые, параллельные некоторой прямой. Тогда получится неевклидова геометрия. Отметим, кстати, распространенное заблуждение: почему-то широкие массы писателей о науке и даже отдельные математики в минуты затмений ( см. статью в Вестнике Академии Наук, посвященную юбилею Лобачевского) считают, что в неевклидовой геометрии параллельные прямые пересекаются. Это не так - параллельные прямые и в евклидовой, и в неевклидовой геометрии определяются как прямые, которые не пересекаются. [7]
Если А равно В, то В равно А, Через точку вне прямой можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. Последняя аксиома носит название пятого постулата Евклида. Около двух тысяч лет математики безуспешно пытались вывести ее из остальных аксиом геометрии. [8]
А ведь многим из них казалось, что они уже почти нашли его, что он совсем близко, рядом. Сколько труда положили ученые на попытки вывести пятый постулат Евклида из других аксиом его геометрии, на решение задач о квадратуре круга или трисекции угла, пока не было доказано, что решения этих задач не существует. [9]
Заметим также, что здесь кратчайшим расстоянием между точками А и В является не отрезок прямой, а дуга некоторой кривой - а это тоже отличает геометрию данного пространства от евклидовой. Он показал возможность построения непротиворечивой геометрии, в которой не выполняется пятый постулат Евклида, положив тем самым начало ряду последовавших затем работ по неевклидовым геометриям. При этом он также выдвинул идею о том, что геометрия реального мира, возможно, и не является евклидовой. [10]
Она лишь свидетельствует о том, что совокупность исходных положений теории не является избыточной, и представляет нек-рые технич. Достаточно вспомнить, какое влияние на развитие математики оказал вопрос о независимости пятого постулата Евклида в системе аксиом геометрии. [11]
Неевклидовы геометрии, открытые и связи с казалось бы чисто умозрительным вопросом о пятом постулате Евклида, оказались теоретическим фундаментом теории относительности. [12]
Его сочинением О началах геометрии и последующими моделями плоскости Лобачевского была, в частности, доказана независимость пятого постулата Евклида. [13]
Действительно, если бы пятый постулат был следствием остальных постулатов и аксиом, то геометрия Лобачевского была бы противоречива, так как содержала бы два взаимно исключающих утверждения - постулат Лобачевского и пятый постулат Евклида. [14]
Непротиворечивость геометрии Лобачевского следует из существова ния модели и непротиворечивости действительных чисел. Одна из первы; моделей геометрии Лобачевского была построена Пуанкаре. Лобачевский занимаясь вопросом доказательства пятого постулата Евклида, получил тако количество теорем, которые убедили его в невозможности получить проти воречие, хотя реальной модели создано не было. [15]