Cтраница 2
Внутренняя независимость бывает нужна ( об этом мы также раньше говорили) для того, чтобы в системе не было лишних аксиом. С вопросом независимости аксиом была связана хорошо известная история проблемы о пятом постулате Евклида, или аксиоме о параллельных. Лобачевский высказал мысль о невыводимости этого постулата из других аксиом геометрии и дал этому предположению убедительное обоснование. В его исследованиях уже заключались элементы метода интерпретации, и впоследствии невыводимость пятого постулата на этом пути и была окончательно установлена. Была построена такая система объектов, которая удовлетворяет всем аксиомам геометрии, кроме аксиомы о параллельных, и не удовлетворяет этой последней. Метод интерпретации, однако, приложим к вопросам непротиворечивости и независимости только в известных границах. Другие методы уже связаны с рассмотрением абстрактных логических систем. [16]
И действительные, и р-адические числа получаются из рацио. Тот факт, что р-адическое расстояние удовлетворяет сильному неравенству треугольника, является причиной многих удивительных свойств р-адических чисел, а также приводит к интересным отличиям от классического вещественного анализа, подобно тому как отрицание пятого постулата Евклида о параллельных прямых приводит к неевклидовой геометрии. С другой стороны, похожими оказываются утверждения, не зависящие от сильного неравенства треугольника, и в этих случаях одно и то же доказательство работает и для вещественного, и для р-адического случая. Анализ отличий помогает студентам лучше понять доказательства в обоих случаях. [17]
Геометрия древних, получившая свое завершение в Началах Евклида, в наименьшей степени затронула развитие дифференциальной геометрии. Один только вопрос, на протяжении многих веков казавшийся главнейшим, нашел простое и естественное разрешение в рамках дифференциальной геометрии. Формулировка пятого постулата Евклида казалась настолько далекой от самоочевидности и независимости от других аксиом геометрии, что на протяжении многих веков математики безуспешно пытались дать ему доказательство на основании других аксиом. [18]
Но в истории математики есть важнейшие вехи и имена, не связанные прямо со втузовским курсом. Тем не менее целесообразно познакомить студентов с некоторыми из них. Включение таких фрагментов в лекции несколько затруднительно, и здесь требуются искусственные приемы. Один из таких приемов состоит в том, что лектор случайно отвлекается от основной темы, и, например, рассматривая условия параллельности прямых, вдруг вспоминает о многовековой драматической истории пятого постулата Евклида. Другой прием состоит в проведении аналогий ( пусть даже несколько надуманных) между различными математическими теориями. Например, излагая методы сведения к квадратурам различных типов дифференциальных уравнений и указав, что не существует единого метода, применимого к любому уравнению, можно провести аналогию с разрешимостью в радикалах алгебраических уравнений и рассказать о таких математиках, как Галуа и Абель. [19]