Cтраница 3
Плотность лагранжиана, используемого в задачах динамики ( линейной или нелинейной) теории упругости, определяется выражением L W - Т - Р, где W-плотность энергии деформации, Т - плотность кинетической энергии и Р - потенциал внешних сил. [31]
Здесь первый интеграл берется по объему, а второй - по той части St поверхности тела, где приложены внешние поверхностные нагрузки. Следовательно, с ростом перемещений потенциал внешних сил уменьшается. [32]
Равенство (2.6) положим в основу определения функции 11 для случая произвольного нагружения тела. В соответствии с (2.6) под потенциалом внешних сил П будем понимать такую функцию от перемещений v, вариация которой совпадает по величине с виртуальной работой fA, отличаясь от нее знаком; внешние силы при варьировании П считаются неизменными. [33]
Понятие внешней энергии Y 2 - 4 / л / позволяет унифицировать различные критерии равновесия. Величина Y имеет здесь физический смысл потенциала внешних сил, действующих на систему. Не следует, однако, смешивать Y с потенциальной энергией деформации тела. [34]
Что же касается § 2V, то эта вариация 2-го порядка потенциала внешних сил равна нулю, так как пути, которые проходят точки приложения внешних сил и которые мы для обоих концов обозначим через и0 и ult не содержат никаких бесконечно малых величин 2-го порядка, как это следует из предыдущего. [35]
В качестве непосредственного следствия теоремы о циркуляции § 33, при допускаемых там условиях, будет следовать, что эти циклические постоянные не зависят от времени. Насколько необходимы эти условия, будет выяснено на примере § 29, где потенциал внешних сил сам есть циклическая функция. [36]
Это единственный новый член, явно зависящий от скорости жидкости и приводящий тем самым к изменению структуры уравнений для импульса в равномерно вращающейся системе отсчета; заметим, что учет центробежной силы меняет лишь потенциал внешней силы. [37]
Для положительной определенности V необходимо и достаточно, чтобы при возмущении тривиального равновесия работа внешних и внутренних сил была отрицательной. Последнее утверждение является основой метода работ. Метод работ и энергетический метод равноценны, если существует потенциал внешних сил. [38]
Любопытная подробность: найденная форма оболочки имеет наибольший объем среди других тел вращения, имеющих ту же заданную длину дуги меридиана. Это вытекает, естественно, из того, что нити считаются нерастяжимыми, и энергия системы выражается только потенциалом сил давления. Эта работа будет наибольшей при наибольшем объеме V, а потенциал внешних сил ( - pV) соответственно имеет минимум по сравнению со всеми соседними формами. [39]
Уравнение ( 4) находится в тесной связи с принципом энергии. Возьмем сначала частный случай капельной жидкости и рассмотрим линию тока, которая в некоторый момент времени занимает положение АВ трубки тока, причем движение происходит в направлении от Л к В. Пусть р есть давление, q - скорость, О - потенциал внешних сил, а - площадь поперечного сечения в А; соответствующие количества в В отметим значками. [40]
Развитые методы распространяются на динамические задачи теории упругости путем учета сил инерции. Таким образом, принцип виртуальной работы для динамических задач выводится с помощью понятия кинетической энергии. Принцип виртуальной работы преобразуется в новый вариационный принцип, если предположить, что существуют функция энергии деформации и функции потенциалов внешних сил. Полученный таким образом вариационный принцип можно рассматривать как принцип Гамильтона, распространенный на динамические задачи теории упругости. Он может быть далее обобщен с применением правила множителей Лагранжа. [41]
Для того чтобы краевая задача была самосопряженной, необходимо выполнение теоремы Бетти о взаимности работ. Выполнение теоремы Бетти гарантируется, если силы консервативны. Поэтому достаточным условием применимости метода Эйлера к решению-задачи устойчивости равновесия системы является наличие потенциала внешних сил. Граница между консервативными и неконсервативными силами не совпадает точно с границей применимости метода Эйлера в том смысле, что и некоторые проблемы с неконсервативными силами удается решить методом - Эйлера. Однако вопрос, каким дополнительным требованиям должны удовлетворять неконсервативные силы, чтобы задача; могла быть решена методом Эйлера, остается открытым. [42]