Cтраница 3
Множество неособенных матриц n - го порядка образует группу, если в качестве групповой операции взять правило умножения матриц. Нейтральным элементом будет единичная матрица, обратным -: обратная матрица. Так как в общем случае умножение матриц свойством коммутативности не обладает, эта группа не является абелевой. [31]
Совокупность квадратных матриц, удовлетворяющих приведенному определению, образует группу матриц; элементами этой группы являются квадратные матрицы, законом композиции группы служит правило умножения матриц. Как известно, умножение матриц обладает свойством ассоциативности. [32]
Возможно, вы уже обратили внимание на то, что в свойстве ( V) определителей используется правило, знакомое нам по главе 8 как правило умножения матриц. Если вы вернетесь к разделу Умножение матриц главы 8, то увидите, что правило умножения получилось очень просто и естественно. Его не пришлось высасывать из пальца, оно естественно возникло в процессе работы. [33]
Равенство AS 5Л выполняется только в том случае, когда столбцы матрицы S являются собственными векторами матрицы А. Причина этого заложена в правилах умножения матриц. Предположим, что первый столбец матрицы S есть некоторый вектор у. Тогда первый столбец матрицы SA есть Кгу. Фактически порядок расположения собственных векторов в S и собственных значений в Л автоматически совпадает. [34]
Первая из этих матриц содержит множитель cos 9, который является числом. Мы можем вынести его за скобку, поскольку мы знаем правило умножения матрицы на число. [35]
Здесь соь еВ / т, вектор индукции В параллелен третьей координатной оси, верхний знак соответствует положительно заряженным частицам, нижний - отрицательно. Произведение квадратной матрицы на столбец в правой части представляет собой, согласно правилам умножения матриц, столбец. Столбцы соответствуют векторным величинам, квадратная матрица - тензору. [36]
В этих уравнениях заключены все геометрические характеристики относительного движения звеньев механизмов. Уравнения замкнутости кинематических цепей в матричной форме помимо этого дают простейший алгоритм составления скалярных уравнений зависимости искомых перемещений параметров механизма от его постоянных параметров и заданных переменных параметров. Этот алгоритм представляет собой правило умножения матриц строка на столбец ( см. гл. [37]
Новой является подпрограмма формирования и вывода выходных данных. А, которая затем выводится на экран. В следующих за ними строках обе половины матрицы А перемножаются в соответствии с правилом умножения матриц. Если обращение проведено корректно, то полученная в результате проверки матрица должна быть единичной матрицей соответствующего размера. Из приведенного примера видно, что малые ошибки округления приводят к незначительным отклонениям от этой единичной матрицы. [38]
Умножение для операторов обычно означает результат последовательного выполнения операций. Применяя эту идею к матрицам, мы сразу же получили определение умножения и из него - правило умножения матриц. [39]
Тем не менее всякий раз, когда некоторые столбцы матрицы U образуют базис в пространстве столбцов матрицы U, соответствующие столбцы матрицы А образуют базис в пространстве столбцов матрицы А. Две эти системы эквивалентны и имеют одно и то же множество решений. Вспоминая правило умножения матрицы на вектор, видим, что равенство Ах - 0 выражает линейную зависимость между столбцами матрицы Л, с компонентами вектора х в качестве весов. Поэтому каждая такая зависимость эквивалентна линейной зависимости Ux - Q между столбцами матрицы U с теми же самыми весами. В обеих матрицах А и U последний столбец равен сумме первого и умноженного на 1 / 3 третьего столбцов, а второй столбец равен утроенному первому. [40]
Вывод уравнений (16.1.9) и (16.1.12) выглядит очень прост благодаря использованию компактных обозначений. Это сделать совсем несложно, используя явные выражения для матричных элементов, оператора ( t) ( см. разд. Эти элементы перемножаются в соответствии с правилом умножений матриц. Вычислим в качестве примера все матричные элементы вклада второго порядка в 11 ( t), заканчивающегося слева одночастичным: состоянием. [41]
Вычисления надо выполнить самостоятельно. Результат, конечно, должен получиться тот же самый. На первый взгляд, оно может показаться громоздким и сложным. Однако те, кому приходится часто и много работать с матрицами, очень быстро привыкают безошибочно это правило применять и оно представляется им исключительно простым; палец левой руки должен скользить слева направо вдоль строк первой матрицы, а палец правой руки должен при этом скользить по столбцам второй матрицы. Проделав несколько упражнений, правило умножения матриц можно легко освоить. [42]
Вычисления надо выполнить самостоятельно. Результат, конечно, должен получиться тот же самый. На первый взгляд, оно может показаться громоздким и сложным. Однако те, кому приходится часто и много работать с матрицами, очень быстро привыкают безошибочно это правило применять и оно представляется им исключительно простым; палец левой руки должен скользить слева направо вдоль строк первой матрицы, а палец правой руки должен при этом скользить по столбцам второй матрицы сверху вниз. Проделав несколько упражнений, правило умножения матриц можно легко освоить. [43]
При построении любого курса имеется специфическая трудность, которую нельзя отложить на более поздний срок: с чего начать курс. Большинство студентов начинают его слушать, уже имея некоторые представления о линейных уравнениях. Тем не менее мы убеждены, что изучение линейной алгебры должно начинаться с основной задачи о решении системы п уравнений с п неизвестными, причем решаться эта система должна простейшим и наиболее употребительным способом - методом исключения Гаусса ( а не по правилу Крамера. К счастью, несмотря на простоту этого метода, имеется ряд моментов, которые являются центральными для его понимания и новыми почти для каждого студента. Наиболее важно то, что метод исключения эквивалентен матричному разложению: матрица коэффициентов разлагается в произведение треугольных матриц. Это является прекрасным введением к матричным обозначениям и к правилу умножения матриц. [44]