Cтраница 2
Для того чтобы доказать это утверждение, рассмотрим автомат Л2 с таким же множеством состояний, как у автомата А, но отображения переходов автомата Л2 будут принадлежать Я. Таким образом, в качестве множества состояний автомата Лг следует взять набор представителей смежных классов в G / Я, отображения переходов автомата Лг будут порождать фактор-группу G / Я. [16]
В понятии группы по модулю объединяются все наши требования к системе представителей смежных классов. Условие существования инвариантных расширений мы можем сформулировать теперь так: расширение G группы Н ] G существует, если набор представителей смежных классов образует группу по модулю G ( mod Я), изоморфную фактор-группе GIH. [17]
Доказательство утверждения 2.2.4. Существование такого представления элемента g получить легко. А и Ст принадлежит соответствующему множеству представителей смежных классов. [18]
Теперь мы будем рассматривать абелев случай и его связь с теорией когомологий. В дальнейшем операцию в группе А мы будем записывать аддитивно. Отображение а ( см. 6.1.1) зависит от выбора представителей смежных классов А в Е мы будем предполагать, что группа А при этом представлена единицей. [19]
Так как единица есть первый элемент группы F, то она выбирается в качестве представителя смежного класса U. Таким образом, элементы gt образуют шрейеровскую систему. Заметим, что доказанная лем ма только гарантирует существование шрейеровской системы представителей левых смежных классов. Но для одной и той же подгруппы возможно существование более чем одной шрейеровской системы представителей для смежных классов. [20]
После того как тем или иным путем получены образующие подстановки изучаемого представления, можно приступать к построению базисных графов. Разбиение множества N X N на 2-орбиты группы ( G, N) удобно интерпретировать как полный ориентированный цветной граф, дуга ( а, Ь) которого окрашена в цвет k, когда ( a, b) Qk. Если транзитивная группа задана произвольной системой образующих, построение матрицы смежности цветного графа производится в два этапа. Сначала генерируются образующие фиксатора Gt точки 1 в группе G, с помощью которых строится первая строка матрицы, и находятся представители смежных классов G no GI в виде слов от образующих. Затем действием представителей смежных классов на первую строку вычисляются все остальные строки матрицы смежности цветного графа. Наиболее трудоемкой частью этого алгоритма является генерация образующих фиксатора точки. Трудоемкость существенно снижается, если в системе порождающих подстановок явно выделена подсистема, порождающая фиксатор точки. Следует отметить, что и алгоритм Тодда - Коксетера и индуцирование позволяют в принципе получить в качестве побочного продукта образующие фиксатора точки. [21]
После того как тем или иным путем получены образующие подстановки изучаемого представления, можно приступать к построению базисных графов. Разбиение множества N X N на 2-орбиты группы ( G, N) удобно интерпретировать как полный ориентированный цветной граф, дуга ( а, Ь) которого окрашена в цвет k, когда ( a, b) Qk. Если транзитивная группа задана произвольной системой образующих, построение матрицы смежности цветного графа производится в два этапа. Сначала генерируются образующие фиксатора Gt точки 1 в группе G, с помощью которых строится первая строка матрицы, и находятся представители смежных классов G no GI в виде слов от образующих. Затем действием представителей смежных классов на первую строку вычисляются все остальные строки матрицы смежности цветного графа. Наиболее трудоемкой частью этого алгоритма является генерация образующих фиксатора точки. Трудоемкость существенно снижается, если в системе порождающих подстановок явно выделена подсистема, порождающая фиксатор точки. Следует отметить, что и алгоритм Тодда - Коксетера и индуцирование позволяют в принципе получить в качестве побочного продукта образующие фиксатора точки. [22]
Обратно, пусть a - идеал кольца А. Определим теперь в Л / а мультипликативный закон композиции. Этот смежный класс правильно определен, так как если х, У. Кроме того, выполняется дистрибутивный закон, поскольку он выполняется для представителей смежных классов. [23]
Обратно, пусть a - идеал кольца А, Мы можем построить фак-торкольцо А / а следующим образом. Определим теперь в А / а мультипликативный закон композиции. Если х - f - a и у - f - a - два смежных класса по а, то полагаем ( х - - а) ( у - - а. Этот смежный класс правильно определен, так как если jq, У. Наш мультипликативный закон, очевидно, ассоциативен и имеет единичный элемент, а именно смежный класс 1 - f a. Кроме того, выполняется дистрибутивный закон, поскольку он выполняется для представителей смежных классов. [24]