Cтраница 2
С помощью оператора ( 3), который является обобщением оператора (2.4), можно получить представления решений уравнения ( 1), аналогичные представлениям ( 3.4 а) и (3.46); можно также получить ( см. [ 21, стр. [16]
Метод разделения переменных применяется для решения уравнения Лапласа, когда искомая функция зависит от нескольких переменных. Он состоит в представлении решения уравнения Лапласа в виде суммы произведений функций, каждая из которых зависит только от одной из переменных. При этом одно уравнение Лапласа в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, число которых равно числу независимых переменных. Постоянные интегрирования, входящие в решения этих уравнений, определяются так, чтобы решение исходного уравнения удовлетворяло заданным граничным условиям. [17]
Изложен новый метод расчета обтекания осесимметричных тел и плоских контуров потоком идеального газа при больших сверхзвуковых скоростях. Метод основан на представлении решения уравнений газовой динамики в виде рядов по степеням малого параметра е ( j - 1) / ( 7 1), где 7 - - отношение теплоемкостей. В качестве примера приложения метода приведено подробное решение задачи об обтекании тела вращения в виде усеченного конуса с протоком. Область применения метода и его точность оценены путем сравнения приближенных решений с известными точными решениями задач об обтекании сверхзвуковым потоком клина и конуса. [18]
Разработан новый аналитический метод расчета обтекания тел вращения и плоских контуров потоком идеального газа с большой сверхзвуковой скоростью. Метод основан на представлении решения уравнений газовой динамики в виде рядов по степеням ( 7 - 1) 7 ( 7 1) 5 где 7 - отношение теплоемкостей. Получены в общей форме выражения первых двух членов этих рядов для основных газодинамических величин: составляющих скорости, давления и плотности. Точность приближенных решений, основанных на сохранении первых двух членов рядов, оценена путем их сравнения с точными решениями для обтекания клина и конуса. [19]
Если интегрирование дифференциального уравнения не сводится к квадратурам, то прибегают к приближенным методам интегрирования уравнения. Одним из таких методов является представление решения уравнения в виде ряда Тейлора; сумма конечного числа членов этого ряда будет приближенно равняться искомому частному решению. [20]
Автомодельные решения, чтобы использовать их для многократных расчетов режимов газопередачи в сложных сетях, требуют громоздких и сложных аналитических решений. При этом остается проблема нелинейности системы даже для автомодельных представлений решений уравнений нестационарного изотермического течения газа. [21]
Но малость е, по существу ( мы уже убедились в этом в предыдущем параграфе), определяется некоторой комбинацией параметров задачи. Возможность представления решения уравнения (4.16) в форме рядов по е при е порядка 1 означает всего лишь, что мы выбираем достаточно малыми начальные значения. [22]
Отметим, что теоретически интересные случаи, такие, как наличие только простых, кратных или комплексно-сопряженных и, в частности, чисто мнимых корней, проявляются уже для уравнений состояния электрических цепей, имеющих только два накопителя энергии: один индуктивный и один емкостный. С ростом числа накопителей энергии в цепях и соответственно с увеличением размерности уравнений состояния новых теоретически интересных случаев не возникает. Кроме того, представление решений уравнений состояния через элементы спектрального расщепления матриц (2.3), (2.4) теряет свою наглядность. Представление же решения уравнений состояния через функции от матриц (2.5) фактически не зависит от размерности матрицы А, а определяется только видом изображений Fi ( p; t) компонент вектор-функции воздействия. По этим причинам для иллюстрации применения формул (2.3) - (2.5) в следующих параграфах выбраны уравнения состояния RLC-цепеи, содержащих емкостный и индуктивный элементы, и прежде всего уравнение состояния последовательной LC-цепи. [23]
Ван дер Поль предложил без должного математич. Этот метод основан на представлении решения уравнения ( 4) в виде функции гармонич. [24]
Теорема Пуанкаре утверждает сходимость рядов, расположенных по степеням е, только для достаточно малых в. Но малость е, по существу ( мы уже убедились в этом в предыдущем параграфе), определяется некоторой комбинацией параметров задачи. Возможность представления решения уравнения (4.16) в форме рядов по е при е порядка 1 означает всего лишь, что мы выбираем достаточно малыми начальные значения. [25]
То обстоятельство, что уравнения состояния (1.1), (1.2) с данным воздействием u ( t) могут иметь при определенных значениях коэффициентов резонансные решения, которые качественно отличаются от безрезонансных решений, имеет важное значение. Аналитически резонансные решения описываются элементарными функциями иного вида, чем функции безрезонансных решений. Это усложняет решение задачи для тех случаев, когда для исследователя представляет интерес не качественный анализ решения, а получение конкретных численных значений. Для нахождения числовых результатов важен такой вариант представления решения уравнений состояния, который не зависит от их особенностей и справедлив и в резонансных случаях. [26]
Авторы считают исключительно важным развитие аналитических методов решения уравнений состояния сложных электрических цепей. При классических путях применения ЭВМ в теоретической электротехнике метод переменных состояния является базовым. Поэтому раскрытие его внутренних возможностей имеет большое значение. В книге последовательно проводилась идея максимального использования возможностей аналитических методов в качестве предварительного условия для последующего перехода к численным расчетам. Подобный подход позволяет не только в максимальной мере использовать преимущества компактности и полноты информации аналитических решений, но и разрабатывать новые более экономичные и эффективные численные методы решения задач теории электрических цепей. Например, представление решений уравнений состояния через функции от матриц их коэффициентов позволяет создать новые эффективные алгоритмы численного интегрирования этих уравнений. Синтез возможностей аналитических и численных методов решения уравнений состояния открывает и новые пути использования ЭВМ. [27]